3.5 确定圆的条件 教案 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

5　确定圆的条件 教学目标： 1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法. 2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神. 教学重难点： 重点:会作三角形的外接圆,掌握三角形外心的特点 难点:“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的探索过程. 教学过程： 导入 1.(1)经过一点你能画出几条直线? (2)几个点能确定一条直线? 解:(1)无数条;(2)两个点. 2.线段垂直平分线有什么性质? 已知线段AB,你会作线段AB的垂直平分线吗? 解:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. AB的垂直平分线CD如图所示. 新课讲授 知识点1　确定圆的条件 1.作圆,使它经过已知点A.你能作出几个这样的圆? 解:无数个. 2.作圆,使它经过已知点A,B.圆心有什么特点?应该在什么地方? 解:圆心到点A和点B的距离相等,在AB的垂直平分线上. 3.作圆,使它经过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上). (1)以前我们学过:“到三角形三个顶点距离相等的点”是它们三边什么线的交点? (2)这个交点就是圆心的理由是什么? (3)你能作出这个圆吗? 解:(1)垂直平分线的交点; (2)到各顶点的距离相等; (3)如图所示. [总结] 定理:不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 特别强调:这三个点“不在同一直线上”. 知识点2　外接圆与外心 如图所示,△ABC是圆O的内接三角形,点O是△ABC的外心,圆O是△ABC的外接圆. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心. 锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心是斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形外部. 范例应用 例1　将图中的残缺轮子复原,已知弧上三点A,B,C. (1)画出该轮的圆心; (2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求圆片的半径R. 解:(1)如图所示:分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心. (2)如图所示,连接AO,OB,OA交BC于D. 因为△ABC是等腰三角形,BC=16 cm, 所以BD=8 cm. 因为AB=10 cm, 所以AD=6 cm. 设圆片的半径为R, 在Rt△BOD中,OD=(R-6) cm, 所以R2=82+(R-6)2. 解得R= cm. 所以圆片的半径R为 cm. [方法归纳] 确定圆心的方法:在圆上任取三点,任意两点所连线段的垂直平分线的交点就是圆心. 例2　如图所示,☉O是△ABC的外接圆,∠AOB=96°,∠CAB=60°,点D是的中点.求∠ABD的度数. 解:如图所示,连接CD, 因为∠AOB=96°, 所以∠C=∠AOB=48°. 又因为∠CAB=60°, 所以∠ABC=180°-∠C-∠CAB=72°. 所以∠D=180°-∠CAB=120°. 因为点D是的中点, 所以=. 所以BD=CD. 所以∠CBD=×(180°-120°)=30°. 所以∠ABD=∠ABC+∠CBD=72°+30°=102°. 课堂训练 1.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了(如图所示),其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的碎片应该是(A) A.① B.② C.③ D.④ 2.下列说法正确的是(B) A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点 B.同一平面内,过两点A,B的圆的圆心在一条直线上 C.过三点A,B,C的圆的圆心有且只有一点 D.过四点A,B,C,D的圆不存在 3.顶角为120°的等腰三角形腰长为4 cm,则它的外接圆的直径为　8　 cm.  4.如图所示,△ABC内接于半径为3 cm的☉O,且∠BAC=30°,则BC的长为　3　cm.  5.在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使 AD=BE=CF,连接DE,EF,DF,得到△DEF.若点O为△ABC的外心,求证:点O也是△DEF的外心. 证明:如图所示,连接OA,OD,OC,OF,OE, 因为点O为等边△ABC的外心, 所以OA=OC,点O也是△ABC的角平分线的交点. 所以∠OAC=∠OCA=30°. 所以∠AOC=120°. 在△AOD和△COF中, 所以△AOD≌△COF(SAS). 所以OD=OF. 同理可得OD=OE, 所以OD=OE=OF. 所以点O是△DEF的外心. 小结 1.确定圆的条件 2.外接圆与外心的概念 板书 5　确定圆的条件 1.确定圆的