3.4圆周角和圆心角的关系第1课时　圆周角定理及其推论1 教案 2023-2024学年 北师大数学九年级下册

4圆周角和圆心角的关系 第1课时　圆周角定理及其推论1 教学目标： 1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角定理的证明. 3.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想. 教学重难点： 重点:圆周角概念及圆周角定理. 难点:认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性. 教学过程： 导入 如图所示,在射门游戏中球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,这三个角的大小有什么关系? 解:相等 新课讲授 知识点1　圆周角的概念 下列四个图中,∠x是圆周角的是(C) [总结]定义:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,这样的角叫圆周角. 知识点2　圆周角定理 如图所示,∠AOB=80°,请你画出几个所对的圆周角,这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你能说明理由吗? 解:所对的圆周角有无数个,它们与∠AOB的位置关系分为三种,如图①,②,③所示. (1)如图①所示,因为OB=OC, 所以∠C=∠OBC. 所以∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C. 即∠C= ∠AOB. (2)如图②所示,连接CO并延长,交圆O于点D, 由(1)得,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD, 所以∠AOB=∠AOD+∠BOD =2∠ACD+2∠BCD =2(∠ACD+∠BCD) =2∠ACB. 即∠ACB= ∠AOB. (3)如图③所示,延长CO交圆于点D. 由(1)得,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD. 所以∠AOB=∠BOD-∠AOD=2∠BCD-2∠ACD=2(∠BCD-∠ACD)=2∠ACB, 即∠ACB= ∠AOB. [总结] 圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 知识点3　圆周角定理的推论 如图所示,四边形ABCD的四个顶点在☉O上,找出图中分别与∠1,∠2,∠3,∠4相等的角. 解:∠CBD=∠1,∠ACB=∠2,∠BAC=∠3,∠ABD=∠4. [总结] 圆周角定理的推论:同弧或等弧所对的圆周角相等. 范例应用 例1　 如图所示,☉O的直径AB垂直于弦CD,连接OD,AC,若∠CAO=56°. (1)求证:=; (2)求∠AOD的度数. (1)证明:因为AB是直径,AB⊥CD, 所以=. (2)解:设AB交CD于H(图略). 因为AB⊥CD, 所以∠AHC=90°. 因为∠CAO=56°, 所以∠ACD=90°-56°=34°. 所以∠AOD=2∠ACD=68°. [方法归纳] 计算圆周角(圆心角)的度数时,同弧(或等弧)是关键: (1)先找到圆周角(圆心角)所对的弧; (2)再找这段弧对的圆心角(圆周角); (3)建立两个角之间的关系. 例2　如图所示,在☉O中,弦AB,CD交于点E,AD=CB.求证:AE=CE. 解:由圆周角定理可得, ∠ADE=∠CBE, 在△ADE和△CBE中, 所以△ADE≌△CBE(AAS). 所以AE=CE. 课堂训练 1.(2021阜新)如图所示,A,B,C是☉O上的三点,若∠O=70°,则∠C的度数是(B) A.40° B.35° C.30° D.25° 第1题图 第2题图 2.如图所示,☉O的两条弦AB,CD所在的直线交于点P,AC,BD交于点E,∠AED=105°,∠P=55°,则∠ACD等于(C) A.60° B.70° C.80° D.90° 3.如图所示,△ABO是等边三角形,则弦AB所对圆周角度数为　30°或150°　.  第3题图 第4题图 4.如图所示,AB是☉O的弦,且AB=6,点C是中点,点D是优弧上的一点,∠ADC=30°,则圆心O到弦AB的距离等于　　.  5.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB=AC,BD⊥AC,垂足为E. (1)若∠CAD=23°,求∠BAC的度数; (2)若∠ACD=45°,AC=13,求CD的长. 解:(1)因为AC⊥BD, 所以∠BEC=90°. 因为∠CBE=∠CAD=23°, 所以∠ACB=90°-23°=67°. 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB=67°. 所以∠BAC=180°-67°-67°=46°. (2)因为AC⊥BD, 所以∠AEB=∠CED=90°. 因为∠ABD=∠ACD=45°, 所以△ABE,△CED都是等腰直角三角形. 因为AC=AB=13, 所以AE=AB=. 所以EC=AC-AE=13-. 所以CD=EC=13-13. 小结 1.圆周角的概念 2.圆周角定理及其推