3.3垂径定理 教案 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

*3　垂径定理 教学目标： 1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理. 2.运用垂径定理及其逆定理解决问题. 3.使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神. 教学重难点： 重点:垂径定理的发现、记忆与证明 难点:垂径定理的应用 教学过程： 导入 1.等腰三角形是轴对称图形吗? 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折,可以发现什么结论? 3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心,腰长为半径画圆,得到的图形是否是轴对称图形呢? 解:1.是　2.两腰重合　3.是 新课讲授 知识点1　垂径定理 如图所示,☉O中,AB是一条弦,CD是直径,CD⊥AB,垂足为E,如果把圆沿CD折叠,你能得到哪些关系? 解:AE=BE,=,=. [总结]垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 知识点2　垂径定理的逆定理 如图所示,☉O中,AB是一条弦,CD是直径,AE=BE,这是一个轴对称图形吗?你能得到哪些关系? 解:是轴对称图形.AB⊥CD,=,= [总结]垂径定理的逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 注意:被平分的弦必须不是直径,这是易忽视的重要条件. 由上两个问题,你还有哪些发现? [拓展] 平分弦,过圆心,垂直于弦,平分弦所对的弧四个条件中任意两个成立,其余两个也能成立.但是当过圆心、平分弦成立时,被平分的弦必须不是直径,另外两个条件才能成立(垂径定理的逆定理). 范例应用 例1　如图所示,☉O为水管横截面,水面宽AB=24 cm,水的最大深度为18 cm,求☉O的半径. 解:如图所示,作OD⊥AB于D,交☉O于E,连接OA, 所以AD=AB= ×24=12(cm). 设☉O的半径为r cm, 则OD=ED-OE=(18-r) cm. 在Rt△AOD中, 由勾股定理,得OA2=OD2+AD2, 即r2=(18-r)2+122, 解得r=13, 即☉O的半径为13 cm. [方法归纳] 过圆心作弦的垂线,然后连接圆心与弦的一个端点构造直角三角形,然后应用勾股定理,是此类题目常用解法. 例2　已知:如图所示,在☉O中,弦AB的长是半径AO的倍,C为的中点,AB,OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由. 证明:因为C为的中点, 所以OC垂直平分AB, 即OC⊥AB且AM=BM. 因为AB=OA,AB=2AM, 所以AM=OA. 所以OM=OA. 因为OA=OC, 所以OM= OC, 即M为OC中点. 所以OC和AB相互垂直且平分. 所以四边形OACB是菱形. [方法归纳] 连接圆心与弧的中点,能得到弦的垂直平分线. 课堂训练 1.如图所示,☉O中弦AB长为8,OC⊥AB,垂足为D,若CD=2,则☉O半径长是(D) A.10 B.8 C.6 D.5 第1题图 第2题图 2.往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面图如图所示,若水面宽度AB=24 cm,则水的最大深度为(B) A.5 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 3.半径为12 cm的圆中,垂直平分半径的弦长为　12 cm　.  4.某地现存100多座石拱桥,已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m,桥拱半径OC为5 m,则水面宽AB=　8　m.  5.如图所示,AB是☉O的弦,C,D为直线AB上两点,OC=OD,求证:AC=BD. 证明:作OH⊥AB于H,如图所示,则AH=BH, 因为OC=OD,OH⊥AB, 所以CH=DH. 所以CH-AH=DH-BH, 即AC=BD. 小结 1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 2.垂径定理的逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 板书 *3　垂径定理 1.垂径定理 2.垂径定理的逆定理 反思 　　在数学教学中,注意结论的表述要准确,特别是限制条件要强调清楚,要善于处理好教学中知识传授与能力培养的关系,引导学生解决生活中的数学问题.不断地激发学生的学习积极性与主动性,培养学生思维能力、想象力和创新精神,使每个学生的身心都能得到充分的发展. 学科网（北京）股份有限公司 $$