3.2 圆的对称性 教案 2023-2024学年北师大数学九年级下册

2　圆的对称性 教学目标： 1.理解圆的旋转不变性. 2.掌握圆心角、弧、弦之间相等关系定理,并能进行计算或证明. 3.通过动手操作、观察、归纳,经历探索新知的过程,培养学生实验、观察、发现新问题,探究和解决问题的能力. 教学重难点： 重点:探索圆心角、弧、弦之间关系定理,并利用其解决相关问题. 难点:圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的理解及定理的证明. 教学过程： 导入 1.下列三种图形:①等边三角形;②平行四边形;③矩形.其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是:　③　.(填序号)  2.圆的概念是怎么描述的? 什么叫圆心角?什么叫弧?什么叫弦? 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆上任意两点间的部分叫做弧. 连接圆上任意两点的线段叫做弦. 新课讲授 知识点1　圆的对称性 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(A) [点拨] 平面内沿某条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形,叫轴对称图形; 某个图形绕一点旋转180°后能与原来的图形重合,这个图形叫中心对称图形. (1)圆是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是它的对称轴,它有无数条对称轴; (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心.圆绕圆心旋转任何角度都能与原来的图形重合. 知识点2　圆心角、弧、弦之间的关系 如图所示,☉O和☉O'半径相等,∠AOB=∠A'O'B',如果两个圆重合在一起,∠AOB和∠A'O'B' 也重合在一起,你还能得到什么结论? 解:AB与A'B'重合,与重合. 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 范例应用 例题　如图所示,在☉O中,D,E分别为半径OA,OB上的点,且AD=BE.C为上一点,连接CD,CE,CO,且CD=CE. 求证:C为的中点. 证明:因为OA=OB,AD=BE, 所以OD=OE, 在△OCD和△OCE中, 所以△OCD≌△OCE(SSS). 所以∠COD=∠COE. 所以=, 即C为的中点. [方法归纳] 在同圆或等圆中,如果证明两条弧相等,可以证明这两条弧对的圆心角或弦相等. 课堂训练 1.下列语句中,正确的有(A) ①相等的圆心角所对的弧相等;②等弦对等弧;③长度相等的两条弧是等弧;④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图所示,AB为☉O的直径,点C,D是的三等分点,∠AOE=60°,则∠BOD的度数为(C) A.40° B.60° C.80° D.120° 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图所示,在☉O中,==,连接AC,CD,则AC　<　2CD(填“>”“<”或“=”).  4.如图所示,已知AB,CD是☉O的直径,=,∠AOE=32°,那么∠COE的度数为　64　度.  5.如图所示,AB,CD是☉O的两条直径,CE∥AB,求证:=. 证明:如图所示,连接OE, 因为CE∥AB, 所以∠BOC=∠C,∠AOE=∠E. 因为OC=OE, 所以∠C=∠E. 所以∠BOC=∠AOE. 所以=. 6.如图所示,AB,AC是☉O的两条弦,且=. (1)求证:AO平分∠BAC; (2)若AB=4,BC=8,求半径OA的长. (1)证明:如图①所示,连接OB,OC. 因为=, 所以AB=AC. 又因为OC=OB,OA=OA, 所以△AOB≌△AOC(SSS). 所以∠1=∠2. 所以AO平分∠BAC. (2)解:如图②所示,延长AO交BC于点E,连接OB, 因为AB=AC,AO平分∠BAC, 所以AE⊥BC,BE=CE=BC=4. 设OA=x, 可得AB2-BE2=AE2,OB2=OE2+BE2, 即(4)2-42=(x+OE)2,x2=OE2+42, 解得x=5,OE=3. 所以半径OA的长为5. 小结 1.圆的对称性:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图形,对称中心为圆心. 2.圆心角、弧、弦之间的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 板书 2　圆的对称性 1.圆的对称性 2.圆心角、弧、弦之间的关系 反思： 　　本节课的教学策略是通过教师引导,让学生观察、思考、交流、合作,感受圆的旋转不变性,并能运用圆的对称性研究圆中的圆心角、弧、弦间的关系定理.同时注重培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力.体验数学的生活性、趣味性,激发他们的学习兴趣. 学科网（北京）股份有限公司 $$