专题17.1 特殊三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题17.1 特殊三角形（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】等腰三角形 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） （3）等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边） 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角； 2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形； 2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形 角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形； 2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。 高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边； 2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。 1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形； 2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。 角 等边对等角 等角对等边 边 底的一半<腰长<周长的一半 两边相等的三角形是等腰三角形 【知识点二】直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边直角边，简称：HL） 【知识点三】勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别是、，斜边为，那么．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 【知识点四】互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 【考点目录】 【考点1】等腰三角形→等边对等角和三线合一 【考点2】等腰三角形的性质与判定 【考点3】等边三角形的性质与判定 【考点4】直角三角形的性质与判定→直角三角形斜边上的中线 【考点5】直角三角形的性质与判定→含30度的直角三角形 【考点6】勾股定理 【考点7】直角三角形全等的判定 【考点8】反证法 【考点一】等腰三角形→等边对等角和三线合一 【例1】（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ． （1）求证：； （2）问： 与 的位置关系并证明． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析． 【分析】（）根据证明即可； （）利用全等三角形的性质推出，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到； 此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴ ； （2），理由： ∵， ∴， 又∵平分， ∴． 【举一反三】 【变式1】（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，等腰中，，D为的中点，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质； 根据等腰三角形的三线合一逐项判断即可． 解：A．∵， ∴，故A不符合题意； B．∵，D为的中点， ∴，故B不符合题意； C．∵，D为的中点， ∴，故C不符合题意； D．无法得出，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】（2023上·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为