17.3.1勾股定理及其应用同步练习 2023—2024学年冀教版八年级数学上册

第十七章　特殊三角形 17.3　勾股定理 第一课时　勾股定理及其应用 基础过关全练 知识点1　勾股定理 1.(2023海南东方期末)如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD平分∠BAC,则AD等于 (　　) A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9 2.【教材变式·P152习题A组T2】【勾股树模型】(2023四川达州渠县期末)如图,所有阴影四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18,则正方形B的面积为 (　　) A.8　　　　B.9　　　　C.10　　　　D.12 3.【数学文化】(2023江苏沭阳期中)如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是一个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.连接图2中的四条线段得到如图3所示的新图案,如果图1中的直角三角形的长直角边长为5,短直角边长为2,图3中阴影部分的面积为S,那么S的值为　　　　.   图1 图2 图3 4.【新课标例82变式】(2023河南宝丰期中)在学习勾股定理时,我们学会运用图(Ⅰ)验证它的正确性.图(Ⅰ)中大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+4×ab,即(a+b)2=c2+4×ab,由此推出a2+b2=c2,这种根据图形验证数学规律和公式的方法,被称为“无字证明”. (1)请你用图(Ⅱ)验证勾股定理(其中四个直角三角形全等); (2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合,用组合图形的面积验证(x+y)2=x2+2xy+y2. 图(Ⅰ) 图(Ⅱ) 图(Ⅲ) 知识点2　勾股定理的应用 5.(2023吉林长春六十八中期末)如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯(只在台阶部分铺地毯),则地毯的长度为 (　　) A.5米　　　　B.6米　　　　C.7米　　　　D.8米 6.【风吹树折模型】(2023四川达州达川期末)如图,一棵大树(树干与地面垂直)在一次强台风中于离地面6米的B处折断倒下,倒下后的树顶C与树根A的距离为8米,则这棵大树在折断前的高度为 (　　) A.10米　　　　B.12米　　　　C.14米　　　　D.16米 7.(2023河南唐河期末)如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上,固定两端A和B,然后把中点C竖直向上拉3 cm至点D,则橡皮筋被拉长了　　　　cm.   8.(2023山西忻州代县期末)如图,△ABC是张大爷的一块小菜地,已知CD是△ABC中AB边上的高,AC=5 m,CD=4 m,BC=3AD,求BD的长.(结果保留根号) 9.【出水芙蓉模型】(2023吉林长春南关东北师大附中期末)如图,水池中离岸边D点4米的C处,直立长着一根芦苇,露出水面部分BC的长是2米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,则水池的深度AC为多少米? 10.(2023山东青岛期末)如图,甲、乙两船从港口A同时出发,甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行,乙船向南偏东48°方向航行,0.5小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛,若C,B两岛相距17海里,则乙船的航速是多少? 答案全解全析 基础过关全练 1.C　∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,BD=DC=BC=6,在Rt△ABD中,AD==8,故选C. 2.A　由勾股定理,得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积,正方形E的面积=正方形A的面积+正方形B的面积,∴正方形B的面积=18-6-4=8,故选A. 3.答案　21 解析　如图,由题意得AC=,AB=CD=2,△ABD是直角三角形,则大正方形的面积=AC2=29,△ADC的面积=CD·AB=×2×2=2,∴题图3中阴影部分的面积S=29-4×2=21. 4.解析　(1)由题图(Ⅱ)可得大正方形的面积为c2, 中间小正方形的面积为(b-a)2, 四个直角三角形的面积和为4×ab, 由图形关系可知,大正方形的面积=小正方形的面积+四个直角三角形的面积, ∴c2=(b-a)2+4×ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2, 即c2=a2+b2. (2)如图所示: 大正方形的边长为x+y 所以大正方形的面积为(x+y)2, 因为大正方形的面积等于两个边长分别为x,y的小正方形和两个长为x宽为y的矩形的面积之和, 所以(x+y)2=x2+2xy+y2. 5.C　在Rt△ABC中,AC==4米,故可得地毯长度=AC+BC=7米. 6.D　∵△ABC是直角三角形,AB=6 m,AC=8 m, ∴BC==10(m), ∴折断前大树的高度=AB+BC=6+10=16(m). 7.答案　2 解析　在Rt△ACD中,AC=AB=4 c