专题23 等差数列前n项和的比值问题及等差数列前项和的最值问题（期末选择题23）2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题23 等差数列前项和的比值问题及等差数列前项和的最值问题（期末选择题23） （原卷版） 题型1 等差数列前项和的比值问题 结论1：若两个等差数列与的前项和分别为，若，则 推导过程：若， 结论2：若两个等差数列与的前项和分别为，若，则 推导过程：若，设等差数列的前项和为，则 ∴ 同理： ∴ （注意：结论2的推导过程实际上是和比与项比处理的万能方法） 结论3：若两个等差数列与的前项和分别为，若，则 推导过程：若， ∴ 例题演练 例1、若两个等差数列的前项和分别是，则等于（ ） A． B． C． D． 解：利用结论直接出答案 【答案】D 例2、已知数列均为等差数列，其前项和分别记为，满足=，则的值为（ ） A． B． C． D． 解：利用结论直接出答案 【答案】B 例3、已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（ ） A． B． C． D．15 解：利用结论直接出答案 【答案】B 1．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（    ）． A． B． C． D． 2．等差数列中的前项和分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（    ） A． B． C． D． 4．设等差数列，的前项和分别为，，，都有，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．等差数列、的前项和分别为与，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．设等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 9．两个等差数列，它们的前n项和之比为，则这两个数列的第9项之比是（    ） A． B． C． D． 10．设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（    ） A． B． C． D． 11．已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则使恒成立的实数的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 12．若两个等差数列和的前项和之比为，则 （    ） A． B． C． D． 13．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 14．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 15．若两个等差数列，的前n项和满足，则（    ） A． B． C． D． 16．等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 17．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 18．设等差数列，的前n项和分别为，，若，则（  ） A． B． C． D． 题型2 等差数列前项和的最值问题 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则： （，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值 ②当时，有最大值 注意：1、公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数． 2、（，是常数）是数列成等差数列的充要条件． 3、公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数． 4、（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件． 秒杀：1、等差数列前项和的最值 （1）在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 形如1：已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 破解：由等差数列的公差，知，，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为. 故选：B 形如2：设是等差数列的前项和，，，当取得最小值时，（    ） A．1 B．4 C．7 D．8 破解：设数列的公差为， 由已知得，解得， ， 由于，，即时，时，， 所以时，递减，时，递增，其中， 由的表达式得，，， 所时，最小． 故选：D． 形如3：已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（    ） A．2022 B．2021 C．1012 D．1011 破解：因为等差数列的前项和为，，， 所以， 所以，， 所以，，即等差数列的公差， 所以，时，；时，， 所以，使得前项和取得最大值时的值为. 故选：D 形如4：已知等差数列的通项公式为（）