专题22 等差数列基本量的计算及等差数列的性质（期末选择题22）-2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题22 等差数列基本量的计算及等差数列的性质 （期末选择题22） （原卷版） 题型1 等差数列基本量的计算 解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二” (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解 (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程 工具1：等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 推导过程： （1）归纳法： 根据等差数列定义可得：， 所以， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）． （2）叠加法： 根据等差数列定义，有： ， ， ， … 把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得， 所以． （3）迭代法： 所以． 注意：①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 工具2：等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 证明：因为， 所以 所以 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况． 常用结论：1.等差数列中，若，则． 2.等差数列中，若，则． 3.等差数列中，若，则． 4.若与为等差数列，且前项和为与，则． 形如1：在等差数列中，，，则201是数列的第几项（    ） A．59 B．60 C．61 D．62 破解：等差数列中，，，设公差为， ∴，解得； ∴通项公式为， 当时，． 故选：C． 形如1：在等差数列中，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 破解：在等差数列中，，则数列的公差， 所以. 故选：B 形如3：已知为等差数列，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 破解：设等差数列的公差为，则， 故，故， 故选：A. 1．在等差数列中，是方程的两根，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．6 2．在等差数列中，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 3．在等差数列中，若是方程的两根，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 4．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 5．数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 7．是等差数列的（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 8．在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知等差数列中，，，求（    ） A．15 B．30 C．31 D．64 10．在等差数列中，，，则（    ） A．39 B．76 C．78 D．117 题型2 等差数列的性质 利用等差数列的性质解题的两大特点 (1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化 (2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m 殊情况． 工具：等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 秒杀：等差数列中对称设项法的应用 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为． 形如1:如果等差数列中，，那么（    ） A．14 B．12 C．28 D．36 破解：∵，∴，则，又， 故. 故选:C. 形如2:已知等差数列中，，则（    ） A．30 B．15 C．5 D．10 破解：∵数列为等差数列，，所以 ∴. 故选：B 形如3:已知，均为等差数列，且，，，则数列的前5项和为（    ） A．35 B．40 C．45 D．50 破解：由题知，均为等差数列，且，，， 所以，得， 所以数列的前5项和为． 故选：B 形如4:现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（    ） A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升 破解：设九只茶壶按