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数学
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第28讲 与圆有关的位置关系
1.(2023眉山)如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( C )
A.25° B.35° C.40° D.45°
第1题图
C
第28讲 与圆有关的位置关系
2.(2023北京)如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 .
第2题图
第28讲 与圆有关的位置关系
3.(2023衡阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .
第3题图
第28讲 与圆有关的位置关系
4.(2023河南)如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为 .
第4题图
第28讲 与圆有关的位置关系
5.如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= 35° .
第5题图
35°
第28讲 与圆有关的位置关系
6.(2023宁夏)如图,已知AB是☉O的直径,直线DC是☉O的切线,切点为C,AE⊥DC,垂足为E.连接AC.
(1)求证:AC平分∠BAE;
(1)证明:如解图,连接OC,
∵直线DC是☉O的切线,∴OC⊥DC.
又∵AE⊥DC,∴OC∥AE,
∴∠EAC=∠ACO.
∵OC=OA,∴∠ACO=∠OAC,
∴∠EAC=∠OAC,∴AC平分∠BAE.
第6题图
第6题解图
第6题解图
第28讲 与圆有关的位置关系
(2)若AC=5,tan∠ACE=,求☉O的半径.
(2)解:如解图,连接BC,
第6题图
第6题解图
第6题解图
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
又∵AE⊥DC,∠EAC=∠OAC,∴∠ABC=∠ACE.
在Rt△ABC中,tan∠ABC=tan∠ACE=,
∴==,∴BC=,
在Rt△ABC中,AB==,
∴OA=,即☉O的半径为.
第28讲 与圆有关的位置关系
7.(2023扬州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C,D两点.
(1)试判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由;
解:(1)直线AB与☉O相切.
理由:如解图,连接OD,∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,
∴∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD,
∴∠BCD=∠BOD.
∵∠BCD=∠A,∴∠BOD=∠A.
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,
第7题图
第7题解图
第28讲 与圆有关的位置关系
第7题解图
∴∠BOD+∠B=90°,
∴∠BDO=90°,
∴OD⊥BD.
又∵OD是☉O的半径,
∴直线AB与☉O相切.
第28讲 与圆有关的位置关系
(2)若sinB=,☉O的半径为3,求AC的长.
解:(2)∵sinB==,OD=3,∴OB=5,
∴BC=OB+OC=8.
在Rt△ACB中,sinB==,
∴设AC=3x,AB=5x,
∴BC==4x=8,∴x=2,
∴AC=3x=6.
第7题图
第28讲 与圆有关的位置关系
8.(2023徐州)如图,在☉O中,直径AB与弦CD交于点E.=2,连接AD,过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°,则∠DEB= 66 °.
第8题图
66
第28讲 与圆有关的位置关系
9.(2023广元)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,连接AC,BC,过点C作☉O的切线交AB延长线于点D,OF⊥BC于点E,交CD于点F.
(1)求证:∠BCD=∠BOE;
(1)证明:如解图,连接OC,
∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°,
∴∠OCB+∠BCD=90°.
∵OF⊥BC,∴∠BEO=90°,
第9题图
第9题解图
∴∠BOE+∠OBE=90°.
∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠BCD=∠BOE.
第28讲 与圆有关的位置关系
(2)解:如解图,过点B作BH⊥CD于点H,
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵sin∠CAB==,AB=10,∴BC=6.
∵OF⊥BC,