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第16讲 二次函数与几何综合题(一)
类型1 线段问题
1. [二次函数结合最短路线模型]如图1,点E,F在直线l的同一侧,要在直线l上找一点K,使KE与KF的距离之和最小,我们可以作出点E关于l的对称点E',连接FE'交直线l于点K,则点K即为所求.
图1
【实践运用】(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),如图2.
①求该抛物线的解析式;
②在抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小,并求出此时点P的坐标及PA+PC的最小值.
图2
第1题图
第16讲 二次函数与几何综合题(一)
解:(1)①∵抛物线与x轴的交点为A(-1,0),B(3,0),
∴可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).
∵抛物线过点C(0,-3),
∴-3=(0+1)×(0-3)a,
∴a=1,
∴该抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
②如解图1,连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PA+PC的值最小,最小值为BC的长,
第1题解图1
第16讲 二次函数与几何综合题(一)
∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
设直线BC的解析式为y=kx+b'(k≠0),
∴,解得,
∴直线BC的解析式为y=x-3,
当x=1时,y=x-3=1-3=-2,
∴P(1,-2),PA+PC的最小值为BC==3.
图1
第16讲 二次函数与几何综合题(一)
(2)如解图2,连接AC并延长交抛物线对称轴于点Q,此时|QA-QC|的值最大,最大值为线段AC的长,
设直线AC的解析式为y=nx+m(n≠0),
∴,解得,
∴直线AC的解析式为y=-3x-3,
当x=1时,y=-3x-3=-3×1-3=-6,
∴Q(1,-6).
【知识拓展】(2)在对称轴上找一点Q,使|QA-QC|的值最大,并求出此时点Q的坐标.
图2
第1题解图2
第16讲 二次函数与几何综合题(一)
类型2 面积问题
2. [二次函数结合面积计算方法]【方法】(1)如图1,在△ABC中,分别过点A,C作水平线的垂线l1,l2,l1,l2之间的距离d叫做水平宽,过点B作水平线的垂线交AC于点D,称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高.求证:S△ABC=dh;
第2题图1
第16讲 二次函数与几何综合题(一)
(1)证明:设△ABD中BD边上的高为hA,△CBD中BD边上的高为hC,易得hA+hC=d,
由题图得,S△ABC=S△ABD+S△CBD
=BD·hA+BD·hC
=BD·(hA+hC)
=BD·d
=dh.
第16讲 二次函数与几何综合题(一)
【应用】(2)如图2,在平面直角坐标系中,直线
过点A(1,5),B(-2,-1),求△AOB的面积;
(2)解:如解图1,设直线AB的解析式为
y=kx+b1(k≠0),与x轴的交点为C,
将A(1,5),B(-2,-1)代入y=kx+b1中,得
,解得,
∴直线AB的解析式为y=2x+3.
令y=0,则2x+3=0,解得x=-,
∴C(-,0),∴OC=,
∴S△AOB=OC·(yA-yB)=××(5+1)=.
图1
第2题解图1
第2题图2
第16讲 二次函数与几何综合题(一)
【拓展】(3)如图3,已知抛物线y=ax2+bx经过点A(5,0)和点B(1,4),P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,是否存在点P,使S△PAB=S△OAB?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
第2题图3
(3)存在,点P的坐标为(2,6)或(4,4).
第16讲 二次函数与几何综合题(一)
解:如解图2,过点P作PM∥y轴,交AB于点Q,交x轴于点M,
将A(5,0),B(1,4)代入y=ax2+bx中,得
,解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+5x.
由题意,得OA=5,yB=4,
∴S△OAB=OA·yB=×5×4=10,
∵S△PAB=S△OAB,
图2
第2题解图2
第16讲 二次函数与几何综合题(一)
∴S△PAB=×10=6.
由A(5,0),B(1,4),
易得直线AB的解析式为y=-x+5.
设P(m,-m2+5m),则Q(m,-m+5),
∴PQ=yP-yQ=-m2+5m-(-m+5)=-m2+6m-5,
∴S△PAB=PQ·(xA-x