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第15讲 二次函数性质综合题
1.(2023绍兴)已知二次函数y=-x2+bx+c.
(1)当b=4,c=3时,
①求该函数图象的顶点坐标;
②当-1≤x≤3时,求y的取值范围;
解:(1)①当b=4,c=3时,y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,
∴该函数图象的顶点坐标为(2,7).
②∵当-1≤x≤2时,y随x增大而增大,当2≤x≤3时,y随x增大而减小,
∴当x=2 时,y有最大值7.
当x=-1 时,y=-2;当x=3时,y=6,
∴当-1≤x≤3时,-2≤y≤7.
第15讲 二次函数性质综合题
解:(2)∵当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,
∴抛物线的对称轴x= 在y轴的右侧,∴b>0.
∵抛物线开口向下,x≤0时,y的最大值为2,
∴c=2.
又∵=3,∴b=±2.
∵b>0,∴b=2.
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+2.
(2)当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的表达式.
第15讲 二次函数性质综合题
2.(2023丽水)已知点(-m,0)和(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数,a≠0)的图象上.
(1)当m=-1时,求a和b的值;
(1)解:当m=-1时,二次函数图象过点(1,0)和(-3,0),
∴,解得.
第15讲 二次函数性质综合题
(2)若二次函数的图象经过点A(n,3)且点A不在坐标轴上,当-2<m<-1时,求n的取值范围;
(2)解:∵图象过点(-m,0)和(3m,0),
∴对称轴为直线x=m.
∵图象过点(n,3),(0,3),
∴由图象的对称性得n=2m.
∵-2<m<-1,
∴-4<n<-2.
第15讲 二次函数性质综合题
(3)求证:b2+4a=0.
(3)证明:∵图象过点(-m,0),(3m,0),
∴根据图象的对称性,得-=m,
∴b=-2am.
把(-m,0),(3m,0)代入y=ax2+bx+3得,
,
①×3+②得,12am2+12=0,
∴am2+1=0,
∴b2+4a=(-2am)2+4a=4a(am2+1)=0.
第15讲 二次函数性质综合题
3.已知二次函数y=ax2-2ax-3a(a为常数,且a≠0).
(1)求该二次函数图象与x轴的交点坐标;
解:(1)当y=0时,ax2-2ax-3a=0,
解得x=-1或x=3,
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).
第15讲 二次函数性质综合题
解:(2)∵y=ax2-2ax-3a的顶点坐标为(1,-4a),
①当a>0时,在0≤x≤4中,最大值是当x=4时y的值,即5a,
最小值是当x=1时y的值,即-4a,
∴5a-(-4a)=4.5,∴a=0.5,
∴该二次函数的表达式为y=0.5x2-x-1.5;
②当a<0时,在0≤x≤4中,最大值是当x=1时y的值,即-4a,
最小值是当x=4时y的值,即5a,
∴-4a-5a=4.5,∴a=-0.5,
(2)当0≤x≤4时,y的最大值与最小值的差为4.5,求该二次函数的表达式;
第15讲 二次函数性质综合题
∴该二次函数的表达式为y=-0.5x2+x+1.5.
综上所述,二次函数的表达式为y=0.5x2-x-1.5或y=-0.5x2+x+1.5.
第15讲 二次函数性质综合题
(3)若a>0,对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),当t-1≤x1≤t+1,x2≥5时,均满足y1≤y2,请直接写出t的取值范围.
解:(3)由(2)知抛物线的对称轴为x=1,
∵a>0,
∴x≤1时,y随x增大而减小,x>1时,y随x增大而增大,x=-3和x=5时的函数值相等.
∵y1≤y2,∴-3≤x1≤5.
又∵t-1≤x1≤t+1,
∴t-1≥-3,t+1≤5,
∴-2≤t≤4.
第15讲 二次函数性质综合题
4.如图,抛物线y=-x2-bx+c与x轴,y轴分别交于点A(5,0),点B(0,5),点C为抛物线的顶点坐标.
(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标;
解:(1)将A(5,0),B(0,5)代入 y=-x2-bx+c 中,
得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,
∴抛物线的顶点C的坐标为(2,9).
第4题图
第15讲 二次函数性质综合题
(2)设点B关于抛物线对称轴的对称点为点D,平移原抛物线,设新抛物线的顶点为点M,使点M始终在射线CB上,