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数学
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第11讲 一次函数的实际应用
1. [数学文化](2023武汉)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之?”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 250 .
250
第1题图
第11讲 一次函数的实际应用
2.(2023陕西)经验表明,树在一定的成长阶段,其胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大,树就越高.通过对某种树进行测量研究,发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数.已知这种树的胸径为0.2 m时,树高为20 m;这种树的胸径为0.28 m时,树高为22 m.
(1)求y与x之间的函数表达式;
解:(1)设y=kx+b(k≠0),
根据题意,得,解得,
∴y与x之间的函数表达式为y=25x+15.
第11讲 一次函数的实际应用
(2)当这种树的胸径为0.3 m时,其树高是多少?
解:(2)当x=0.3时,y=25×0.3+15=22.5.
∴当这种树的胸径为0.3 m时,其树高是22.5 m.
第11讲 一次函数的实际应用
3.(2023长春)甲、乙两人相约登山,他们同时从入口处出发,甲步行登山到山顶,乙先步行15分钟到缆车站,再乘坐缆车直达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度y(米)与甲登山的时间x(分钟)之间的函数图象如图所示.
(1)当15≤x≤40时,求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式;
解:(1)当15≤x≤40时,设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将(15,0),(40,300)代入y=kx+b中,得
,解得,
∴当15≤x≤40时,乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=12x-180.
第3题图
第11讲 一次函数的实际应用
(2)求乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.
解:(2)当25≤x≤60时,设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y=mx+n(m≠0),
将(25,160)和(60,300)代入y=mx+n中,得
,解得,
∴y=4x+60(25≤x≤60).
联立,解得,
∴乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米.
第11讲 一次函数的实际应用
4.书法是中华民族的文化瑰宝,是人类文明的宝贵财富,是我国基础教育的重要内容.某校准备在某超市为书法课购买一批毛笔和宣纸,已知毛笔的单价为5元,宣纸的单价为0.36元.该校准备购买毛笔50支,宣纸x张(x>50),该超市给出以下两种优惠方案.
方案A:购买一支毛笔,赠送一张宣纸;
方案B:购买的宣纸超出200张的部分打七五折,毛笔不打折.
设方案A的总费用为y1元,方案B的总费用为y2元.
第11讲 一次函数的实际应用
(1)请分别求出y1,y2与x之间的函数表达式;
解:(1)由题意可得,y1=50×5+0.36×(x-50)=0.36x+232,
当50<x≤200时,y2=50×5+0.36x=0.36x+250,
当x>200时,y2=50×5+0.36×200+0.36(x-200)×0.75=0.27x+268,
由上可得,y1=0.36x+232,
y2=.
第11讲 一次函数的实际应用
解:(2)该校准备购买的宣纸超过200张,
方案A的费用为y1=0.36x+232;
方案B的费用为y2=0.27x+268.
当0.36x+232<0.27x+268时,解得x<400,
当0.36x+232=0.27x+268时,解得x=400;
当0.36x+232>0.27x+268时,解得x>400.
∴当200<x<400时,选择方案A更合算;当x=400时,选择两种方案费用相同;当x>400时,选择方案B更合算.
(2)若该校准备购买的宣纸超过200张,则选择哪种方案更合算?请说明理由.
第11讲 一次函数的实际应用
5. [日常生活]春节结束后,为了吸引游客,某市动物园推出了甲、乙两种购票方式.
甲:按照次数收费,门票每人每次20元;
乙:购买一张动物园年卡后,门票每人每次按五折优惠.
设某人一年内去动物园的次数为x,所需费用
为y元,且y与x的函数关系如图所示.
根据图中信息,解答下列问题.
(1)