成对数据的统计分析知识梳理2024届高三数学一轮复习

成对数据的统计分析知识梳理 1、 成对数据统计的相关性 1.相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为 相关关系． 变量的相关关系与变量的函数关系的区别： 分类 函数关系 相关关系 相同点 两者均是指两个变量的关系. 不同点 两变量一种确定的关系，体现的是因果关系 两变量一种非确定的关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．散点图 一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示． 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n，就可以得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图. 3. 两个变量的线性相关 （1）如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现 的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现 的趋势，则称这两个变量负相关． （2）一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在 附近，我们就称这两个变量 相关，这条直线叫做回归直线． （3）一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． （4）判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的的两种判断方法： ①实际经验法：借助积累的经验进行分析判断． ②散点图法：绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关． 4.样本的相关系数 (1)相关系数r的计算 统计学里一般用= ，用它来衡量两个变量间的线性相关关系，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数)． (2)相关系数r的性质 ①|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0． ②|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值． 注意：当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． 当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 2、 一元线性回归模型及其应用 1.一元线性回归模型与函数模型 一元线性回归模型：我们称为Y关于x的 模型，其中，Y称为 或 ，x称为 或 ；a和b为模型的未知参数，a称为 参数，b称为 参数；e是Y与bx＋a之间的随机 ． 2..最小二乘法和经验回归方程 一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i＝1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值i＝bxi＋a，如果一次函数＝x＋能使残差平方和即 (y1－1)2＋(y2－2)2＋…＋(yn－n)2＝(yi－i)2取得最小值，则我们将称为Y关于x的 ，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的 ． 回归方程：方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据、、…、的回归方程，其中是待定参数． ，． 3.回归直线方程的性质 (1)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据、、…、，其样本点的中心为 ．经验回归直线必过样本点的中心． (2)一次函数＝x＋的单调性是由的符号决定的，函数递增的充要条件>0，这说明：y与x正相关的充要条件是>0；y与x负相关的充要条件是<0． (3)当x增大一个单位时，增大个单位，这就是回归系数的实际意义． (4)求回归直线方程的一般步骤： ①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系； ②计算出、、、的值，求回归系数、； ③写出回归直线方程 ，并利用回归直线方程进行预测说明． 注意： 1．求解经验回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本点的中心(，)． 2．根据经验回归方程计算的值，仅是一个预测值，不是真实发生的值． 4.判定两个变量正、负相关的方法 (1)画散点图：如果样本点的分布从整体上看大