7.5 解直角三角形（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

7.5解直角三角形 第7章 锐角三角函数 苏科版 九年级下册 教学目标 01 02 理解解直角三角形的概念与所需条件 03 能借助辅助线构造直角三角形，再进一步解三角形 能借助锐角三角函数解直角三角形 解直角三角形 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，A、B、a、b、c这5个元素之间有怎样的数量关系？ (1)三边之间的关系：a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90° a c b C A B 01 复习引入 (3)边、角之间的关系：sinA=，cosA=，tanA= 从前，有只狗不敢过河…… 为了测定河岸A点到对岸B点的距离，在岸边选定1km长的基线AC，并测得∠A=30°，∠C=90°，如何求A、B两点之间的距离？ .C .B A. 01 情境引入 01 情境引入 .C .B A. 【分析】∵∠A=30°，∠C=90°，AC=1km， ∴cosA=，即cos30°=， 即=， 解得：AB=， ∴A、B两点之间的距离为km。 【解直角三角形的概念】 由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形。 解直角三角形 02 知识精讲 议一议：直角三角形的2个锐角和3条边共5个元素中，需要知道哪几个元素的值，就能确定其余的未知元素的值？ 02 知识精讲 (1)已知两边？ (2)已知一锐角（即已知两锐角）？ (3)已知一锐角和一边？ 02 知识精讲 a c b C A B 【分析】∵∠C=90°，a=3，b=3，∴c===6； ∴sinA===，∴∠A=30°； ∴∠B=90°-∠A=60°。 【总结】直角三角形中已知两边，即可求出其余元素。 (1)已知两边？ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=3，求c、∠A、∠B。 02 知识精讲 a c b C A B 【总结】直角三角形中已知一锐角（或两锐角），无法求出其余元素。 (2)已知一锐角（即已知两锐角）？ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求∠B、a、b、c。 【分析】∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=90°-∠A=60°； 无法求出a、b、c。 02 知识精讲 a c b C A B 【分析】∵∠C=90°，∠A=30°，a=3，∴∠B=90°-∠A=60°； ∴tanA=，即=，解得：b=3； ∴c===6。 【总结】直角三角形中已知一锐角和一边，即可求出其余元素。 (3)已知一锐角和一边？ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=3，求∠B、b、c。 【解直角三角形的条件】 若直角三角形中已知两边或已知一锐角和一边，则可求出其余元素，即解直角三角形至少需要2个元素，且2个元素中至少有一个是边。 02 知识精讲 解直角三角形 知识精讲 【分析】如图，过点A作x轴的垂线，垂足为B， 例1、如图，在直角坐标系xOy中，已知点A(4,3)，直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是________。 03 典例精析 B 由点A的坐标为(4,3)可知：OB=4，AB=3， ∴OA===5， ∴sinα==。 已知两边 知识精讲 例2、(1)如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边AC的长是________。 m·cos35° 已知一锐角和一边 03 典例精析 【分析】在Rt△ABC中， ∵斜边AB的长为m，∠A=35°， ∴cos35°=，即cos35°=， ∴AC=m·cos35°。 知识精讲 例2、(2)如图，在△ABC中，BC=9，AD⊥BC交BC的延长线于点D，已知∠ACD=2∠B，sin∠ACD=，则AD的长为________。 6 已知一锐角和一边 03 典例精析 注意：已知一锐角的正弦或余弦或正切，即可看作已知一锐角 【分析】∵∠ACD=2∠B=∠B+∠BAC， ∴∠B=∠BAC，∴CB=CA=9， ∵AD⊥BC，sin∠ACD=， ∴=，解得：AD=6。 借助辅助线 构造直角三角形 知识精讲 例1、在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB=，则△ABC的面积等于________。 构造直角三角形 03 典例精析 【分析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵在△ABD中，AB=4，sinB=， ∴=，即=，解得：AD=3， ∴△ABC的面积=BC·AD=×5×3=。 知识精讲 例2、在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是________。 构造直角三角形 03 典例精析 【分析】如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D， ∵∠BAC=120°，∴∠CAD=60°，∠ACD=30°， ∵AC=2，AB=4，∴AD=1，CD=，∴BD=5， ∴BC===2， ∴sinB===。 知识精讲