第6.2.4讲 向量的数量积运算（第2课时）-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用 第6.2.4讲 向量的数量积运算（第2课时） 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．能用数量积表示两个向量的夹角，掌握运算规律． 4．通过实例，培养直观想象，数学运算的学科素养． 1、利用数量积的性质与规律计算数量积 2、求向量的模 3、向量的垂直 1．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cosθ . (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 此外，由|cos θ|≤1还可以得到 (4)|a·b|≤|a||b|． 2．数量积的运算律 (1)对于向量a，b，c和实数λ，有 ①a·b＝b·a； ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (2)类比多项式的乘法公式与向量数量积的乘法公式. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋ c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋ 2a·b＋2b·c＋2c·a 题型1、利用数量积的性质与规律计算数量积 1．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知均是单位向量，，则（    ） A． B．0 C． D．1 3．设，为非零向量，且满足，则（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 4．已知向量满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，若，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 题型2、求向量的模 6．已知平面向量，满足，且，，则（    ） A． B． C． D．1 7．已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A．12 B．16 C． D． 8．若平面向量两两夹角相等， 且， 则= （    ） A．2 B．5 C．2或5 D． 或 9．已知单位向量，满足，则与夹角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．已知，向量，若，则实数（    ） A． B． C．-2 D．2 题型3、向量的垂直 11．设非零向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．已知两个单位向量，的夹角为60°，且满足，则实数的值是（    ） A．1 B． C． D．2 14．已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 15．已知平面向量，满足，且，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 一、单选题 1．已知，且，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知，是夹角为60°的单位向量，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知向量、的夹角为，，，则（    ） A．4 B． C．5 D． 4．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 6．已知，，且与的夹角为，则 （    ） A．1 B． C． D． 7．设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则（    ） A． B． C． D． 8．在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若向量，满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 10．已知向量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．，有恒成立 D．若，则 三、填空题 11．已知向量、满足，，与的夹角为，若，则 . 12．已知非零向量满足，则与的夹角为 . 四、解答题 13．已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当k为何值时，？ 14．已知向量，向量与，的夹角都是60°，且，，，试求 (1)； (2). 15．已知平面向量，，，，且与的夹角为 (1)求 (2)若与垂直