第6.2.4讲 向量的数量积与夹角（第1课时）-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用 第6.2.4讲 向量的数量积与夹角（第1课时） 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．能用数量积表示两个向量的夹角，掌握运算规律． 4．通过实例，培养直观想象，数学运算的学科素养． 1、求两向量的数量积 2、求向量的夹角 3、投影向量 1．向量数量积的定义 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π) 叫做向量a与b的夹角． 显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b． (2)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos_θ叫做向量a与b的数量积(或内积(inner product))，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． (3)投影向量：设a，b是两个非零向量(如图(1))，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量． 　 (1)　　　　　　　(2) 在平面内任取一点O，作＝a，＝b(如图(2))．过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么对于任意的θ∈[0，π]，都有＝|a|cosθ_e． 题型1、求两向量的数量积 1．已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　） A．1 B． C．3 D． 2．若，满足，，，的夹角为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 3．已知平面上的三点A，B，C满足，，向量与的夹角为，且，则实数（    ） A．0 B．1 C．－2 D．2 4．在边长为2的等边中，的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 5．在边长为3的菱形ABCD中，，，则=（    ） A． B． C． D． 题型2、求向量的夹角 6．若向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知平面向量，，满足，且，，则向量与向量的夹角余弦值为（    ） A．1 B．﹣1 C． D． 8．已知，，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．平面向量，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 题型3、投影向量 11．，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 12．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 13．已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 14．已知向量、满足，，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 15．若向量与向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．向量，的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．2 C． D．1 2．已知向量，为单位向量，且与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，满足，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．-4 C． D． 4．若等边的边长为2，平面内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 5．若正方形的边长为，则（    ） A．8 B． C．4 D． 6．已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 7．已知向量与的夹角为，，，则向量在方向上的投影向量的模长为（    ） A．3 B． C．2 D． 8．已知菱形的边长为1，，点E是边上的动点，则的最大值为（    ）． A．1 B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 10．若向量满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 三、填空题 11．已知单位向量，满足，若向量，则 ． 12．已知非零向量满足，，则在方向上的投影向量的模为 ． 四、解答题 13．已知向量与的夹角为，且，求： (1)； (2)． 14．已知，，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 15．已知在中，N是边AB的中点，且，设A