第6.2.3讲 向量的数乘运算-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用 第6.2.3讲 向量的数乘运算 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1．通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义． 2．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 3．通过实例，用向量解决一些几何问题，培养数学知识的运用，体会向量的工具性，培养数学运算、直观想象的学科素养． 1、向量的线性运算 2、用已知向量表示未知向量 3、向量共线 1．向量数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by scalar)，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 由(1)可知，当λ＝0时，λa＝0． 由(1)(2)可知，(－1)a＝－a. 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，我们有 (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 4．向量的共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． [独立思考] 1．设λ为实数，a为向量，λ＋a，λ－a有意义吗？ 提示：无意义． 2．对于非零向量a，当λ＝时，λa表示什么意义？ 提示：表示a方向上的单位向量． 3．设非零向量a位于直线l上，那么对于直线l上的任意一个向量b，如何用a表示？ 提示：存在唯一的一个实数λ，使b＝λa. 题型1、向量的线性运算 1．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（    ） A． B． C． D． 2．化简为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知是边上一点，若，则（    ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 5．已知是内一点，满足，则（    ） A． B． C． D． 题型2、用已知向量表示未知向量 6．在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（    ）    A． B． C． D． 7．在中，设，，，则（    ） A． B． C． D． 8．中，是的中点，点在边上，且满足，交于点，则=（    ） A． B． C． D． 9．设为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 10．衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且，，，则（    ） A． B． C． D． 题型3、向量共线 11．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 12．已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 13．已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 14．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 15．在中，，，是所在平面内一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．在中，点为边的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 2．若正方形的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 3．若是内一点，，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 4．已知点在线段上，且，若向量，则（    ） A．2 B． C． D． 5．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 7．已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 8．已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 二、多选题 9．下列命题正确的的有（    ） A． B． C．若，则共线 D．，则共线 10．如图在中，AD､BE､CF分别是边BC､CA､AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（    ）