2024年中考数学一轮复习练习题：二次函数中相似三角形问题

二次函数中相似三角形问题 1．已知抛物线L：经过原点O，且顶点D的坐标为，抛物线L与x轴的一个交点为A（A在原点的右侧）． (1)求抛物线L的表达式； (2)若点M、N为抛物线上关于对称轴对称的两点，点P在L的对称轴上，要使，且，求满足条件的P点的坐标． 2．如图：已知抛物线与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，抛物线的顶点为点P． (1)拋物线L的对称轴为___________，点C的坐标为___________． (2)若，求抛物线的表达式． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1) ； ； (2)连结，与相似吗？说明理由； (3)若点P为射线上一点，当与相似时，直接写出点P的坐标． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．把沿轴翻折，点A落到点，过点B的抛物线与直线交于点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作垂直于轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标． 若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=−x+2过B、C两点，连接AC． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：△AOC∽△ACB． 6．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线过点A、B、C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式并直接写出时x的取值范围． (3)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接，交于F，求以C、E、F为顶点三角形与相似时点P的坐标． 7．某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地.如图，这两条小道、之间的距离为9米，表示这块空地，米.现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上.    (1)如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长； (2)矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由. 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在x轴上，点为抛物线上一点，轴交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线对称轴左侧，直线下方图象上一点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，作，垂足为，连接，若，求的值． 9．综合与探究 如图，二次函数的图像经过轴上的点和轴上的点，且对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式． (2)点E位于抛物线第四象限内的图像上，以，为边作平行四边形．当平行四边形为菱形时，求点的坐标与菱形的面积． (3)连接，在直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图①，抛物线与x轴交与、两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点M从B点以每秒个单位长度沿BA方向向点A运动，同时，点N从C点以每秒个单位沿方向向点B运动．设运动时间为t秒，当t为何值，以B，M，N为顶点的三角形与相似? 11．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作轴，交抛物线于另一点D，连接． (1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________． (2)动点E从点B出发，以1个单位秒的速度沿线段向终点C运动，设运动时间为t秒，则当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，求t的值． 12．如图，已知，，抛物线经过、两点，交轴于点．点是第一象限内抛物线上的一点，连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点作，垂足为点，设点的坐标为请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)试探究在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线的图象经过点A和点C，与x轴的另一个交点是点B． (1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B的坐标； (3)若在y轴的负半轴上存在点D．能使得以A，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标是，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点为，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)依题补图1：连接，过点作轴于点；当和相似时，求的