5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教2019版必修第一册 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1 课程目标 1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用; 2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题． 2 一、差角余弦公式 问题1：如下图所示，能否求解各点坐标呢？ 问题2： 有什么关系？ 问题3：如何计算两点距离？ 探究：已知任意角 的正弦和余弦，能否由此推出 的余弦？ （两角差的余弦公式） （其中，α,β为任意角） 公式的结构特征: 左边：两角差的余弦 右边：同名三角函数乘积的和 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为C（α－β） ( C(-) ) ( C(+) ) cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin 同名积，符号反。 上面得到了两角和与差的余弦公式 ． 我们知道 ， 用诱导公式五 （ 或六 ） 可以实现正弦 、 余弦的互化 ． 你能根据 Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及诱导公式五 （ 或六 ）， 推导出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin（ α － β ） 的公式吗 ？ 通过推导 ， 可以得到 ： 二、公式推导 ( S(+) ) ( S(-) ) sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin 异名积（轮换积），符号同。 你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 Ｃ(α ± β )， Ｓ(α ± β )出发 ， 推导出用任意角 α ， β 的正切表示，的公式吗 ？ 通过推导 ， 可以得到 ： ( T(+) ) ( T(-) ) 正切： 符号上同 下不同 公式 Ｓ (α ＋ β ) ， Ｃ(α ＋ β ) ， Ｔ(α ＋ β ) 给出了任意角 α ， β 的三角函数值与其和角 α ＋ β 的三角函数值之间的关系 ． 为方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做 和角公式 ． 类似地 ， Ｓ(α － β ) ， Ｃ(α － β ) ， Ｔ(α － β )都叫做 差角公式 ． 和 （ 差 ） 角公式中 ， α ， β 都是任意角 ． 如果令 α 为某些特殊角 ， 就能得到许多有用的公式 ． 你能从和 （ 差 ） 角公式出发推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式 知识总结 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一 给角求值 题型分析 2 3 练习 题组1 题组2 题组3 作业: 1.利用和（差）角公式计算下列各式的值. 解题方法（利用公式求值问题） 在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值. 题型二 给值求值(有条件求值） 1 练习 题组1 解题方法（给值求值的解题策略） (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有: 作业 解 题型三 给值求角 2 练习 作业 解 解 解 解 二倍角公式 二倍角公式的变形 (1)升幂公式： 1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α. (2)降幂公式： cos2α＝eq \f(1＋cos2α,2)； sin2α＝eq \f(1－cos2α,2). 名称 公 式 简记符号 使用条件 两角和的正弦 sin(α＋β)=sinαcosβ+cosαsinβ S(α＋β) α,β是任意角 两角差的正弦 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ S(α-β) α,β是任意角 两角和的余弦 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ C(α＋β) α,β是任意角 两角差的余弦 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ C(α-β) α,β是任意角 两角和的正切 tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ) T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(