4.3.2 角的比较与运算（讲+练，9大题型）-【划重点】2023-2024学年七年级数学上册同步讲与练（人教版）

4.3.2 角的比较与运算 1.理解角的概念，掌握角的表示方法. 2.会比较角的大小，认识角的常用度量单位，并能进行简单的换算，会计算角的 和与差. 3.理解角的平分线的概念，会用符号语言表示， 4.了解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能应用这些性质解决相关问题. 知识点一 角的比较 1.方法1(度量法) 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.如图所示中的和,用量角 器量得,,那么＜. 2.方法2(叠合法) 把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同侧，通过另一边的位置关系比较大小. 如图所示，落在的内部，那么小于,记作＜. 如图所示，落在的外部，那么小于,记作＜； 如图所示，和重合，那么等于, 记作=. 注意： 1. 角的度数大，角就大；角的度数小，角就小.反之，角大，角的度数就大；角小，角的度数就小. 2. 顶点重合，一边重合(两重合), 另一边落在重合边的同侧，然后进行观察比较. 3. 根据叠合法，我们可以用一副三角板画出多个角，如15°的角，75°的角，105°的角等. 4. 比较角的大小，度量法具体准确，而叠合法更直观. 即学即练（2022上·四川成都·七年级四川省蒲江县蒲江中学校考期末）如图，将一副直角三角尺的直角顶点重合摆放，若，则 度； 知识点二 角的和、差、倍、分运算 1.角的和、差 如图所示，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB是∠AOC 与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC.类似地，∠BOC=∠AOC-∠AOB. 注意：一角的和与差仍是一个角，只不过是这个角的度数等于另外两个角度数的和或差. 2.一个角的几倍及几分之一(拓展) 如果两个∠1的和是∠2,那么∠2是∠1的2倍，记作∠2=2∠1,∠1是∠2的，记作∠1=∠2；如果三个∠1的和是∠3,那么∠3是∠1的3倍，记作∠3=3∠1,∠1是∠3的，,记作∠1=∠3等. 注意：一个角可能有多种和、差的表示方法，应根据条件适当选取. 3.角的度量单位之间的关系: ，，. ，， 即学即练1（2023上·重庆南岸·七年级校考期末）（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2022上·广东韶关·七年级校考期末）计算： ． 角度的加减乘除运算技巧 (1) 在角度的加法运算中，我们可以把度与度、分与分、秒与秒单位上的数分别相加，然后把满60秒的进1分，再把满60分的进1度 (2) 在角度的减法运算中，同单位的数相减，不够减时，应向上一级单位“借1”,1°=60',1'=60”, 然后再减. (3) 把一个角度扩大几倍(一个角度乘一个正整数),可借助乘法分配律的思想， 把这个数分别与角度的度、分、秒单位上的数相乘，再把分、秒单位上满 60的数向上一位“进1”. (4) 依照多位数除法，把一个角度除以一个数时先用度除以这个数，把余数部 分乘60转化为分单位上的数后再除以这个数，依次类推. 知识点三 角的平分线 1.角的平分线的定义 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线. 2.角的平分线的性质 如图所示，是的平分线，那么. 或. 注意： 角平分线必须同时满足三个条件：①从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分. 即学即练（2022上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，在内部，且，是的平分线，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 （写序号）．    题型1 角的单位与角度制 例1（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）把用度、分、秒表示正确的是（　　） A． B． C． D． 举一反三1（2023上·陕西西安·七年级统考期末） ． 举一反三2（2022上·浙江宁波·七年级统考期末）用度表示为 ． 举一反三3（2023上·重庆江北·七年级字水中学校考期末）计算： ′． 题型2 角的度数大小比较 例2（2022上·湖南长沙·七年级校联考期末）比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）． 举一反三1（2020上·湖南长沙·七年级校考阶段练习）已知，，则 （填“”、“”或“”）． 举一反三2（2023上·湖南娄底·七年级统考期末）用“”、“”或“”填空： ． 举一反三3（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，线段、点在正方形网格中，所有小正方形的边长都相等．    利用画图工具画图： (1)①画线段、；②延长线段到点，使；③画直线． (2)线段与线段的大小关系是：______； (3)与的大小关系是：______． 题型3 角的比较 例3（2017·七年级课时练习）在的内部任取一点，