精品解析：广东省中山市第一中学2023-2024学年高三上学期第五次统测数学试卷

中山市第一中学2023~2024学年第一学期高三年级第五次统测 数学 本试卷共5页，共150分，考试时长120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 正三角形中，，为上靠近的四等分点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 过点与圆相切的两条直线的夹角（锐角）为，则（ ） A. B. C. D. 5. 各项均为正数的等比数列中，成等差数列，是的前项和，则（ ） A. B. C. D. 6. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得其母线长为，屋顶的表面积为即圆锥的侧面积若从该屋顶底面圆周一点绕屋顶侧面一周至过的母线的中点，安装灯光带，则该灯光带的最短长度为（ ） A. B. C. D. 7. 设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求） 9. 山东省某地区年至年生产总值指数分别为，，，，，，，，，，则（ ） A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的众数为 C. 这组数据的中位数为 D. 这组数据的上四分位数为 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的（ ） A. 不可能垂直于 B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 若正方体的棱长为，且，分别为，的中点，则过，，的截面面积最大值为 11. 已知双曲线的离心率为，，是双曲线的两个焦点，经过点的直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的实轴长为 C. 线段的长为 D. 直角三角形 12. 数学中一般用表示a，b中的较小值，表示a，b中的较大值；关于函数：；，有如下四个命题，其中是真命题的是（ ） A. 与的最小正周期均为 B. 与的图象均关于直线对称 C. 的最大值是的最小值 D. 与的图象关于原点中心对称 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 的展开式中常数项是_________用数字作答 14. 接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________ 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与双曲线在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为_________． 16. 已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为_________． 三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其它各题满分12分，共70分.） 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____． （1）求角C； （2）若，求的取值范围． 18. 为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为. （1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为. ①求出的最大值点； ②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望. 19. （1）已知：有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集，且，与互质． 证明：（i）是有理数． （ii）是无理数． （2）已知各项均为正数的两个数列和满足：，．设，，且是等比数列，求和的值． 20. 如图，已知四棱台的体积为，且满足，为棱上的一点，且平面. （1）设该棱台高为，求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 21. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为．已知点和都在双曲线上，其中为双曲线的离心率． （1）求双曲线的方程； （2）设是双曲线上位于轴右方的两点，且