精品解析：甘肃省2023-2024学年高三上学期1月高考诊断考试数学试题

甘肃省一月份高考诊断考试·数学 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在等差数列中，是方程的两根，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6 4. 众数､平均数､中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的分布形态中，平均数､众数和中位数的大小关系是（ ）（由小到大排列） A. 众数中位数平均数 B. 平均数众数中位数 C. 中位数平均数众数 D. 众数平均数中位数 5. 已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平行四边形，若点是边的中点，，直线与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，则f(x)(　　) A 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值，又有极小值 D. 既无极大值，又无极小值 二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象与轴的交点为，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2 C. 直线是图象的一个对称轴 D. 在区间上单调递增 10. 已知，若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 11. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为的准线与轴的交点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 过的焦点的最短弦长为4 C. 当时，直线的倾斜角为 D. 存在2条直线，使得成立 12. 已知直三棱柱内接于球，点为的中点，点为侧面上一动点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 点A到平面的距离为 B. 存点，使得平面 C. 过点作球的截面，截面的面积最小为 D. 点的轨迹长为 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知是奇函数，则__________. 14. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为__________. 15. 如图，点，是双曲线的左，右焦点，同时也是双曲线的左，右顶点，过点的直线交双曲线的左，右两支分别于，两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为6，则双曲线的方程为__________． 16. 某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为__________. 四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小， （2）若的角平分线交边于点，且，求边. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，且，点分别为的中点. （1）若平面平面，证明平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛. （1）完成下面列联表，试根据小概率值独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？ 男 女 合计 喜爱看足球比赛 不喜爱看足球比赛 合计 60 （2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为，求的分布列和期望. 附：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列. （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，且不