专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系（十大考点）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（人教A版2019）

专题10 空间点、直线、平面之间的位置关系 思维导图 核心考点聚焦 考点一：平面的概念及其表示 考点二：平面的确定 考点三：点线共面 考点四：三点共线 考点五：三线共点问题 考点六：截面问题 考点七：直线与直线的位置关系 考点八：异面直线所成的角 考点九：直线与平面的位置关系 考点十：平面与平面的位置关系 知识点一、平面的基本概念 1、平面的概念： “平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的． 知识点诠释： （1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）； （2）“平面”无厚薄之分； （3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． 2、平面的画法： 通常画平行四边形表示平面． 知识点诠释： （1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍； （2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画； 3、平面的表示法： （1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等； （2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面； （3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面； 4、点、直线、平面的位置关系： （1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作； （2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作； （3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作． 知识点二、平面的基本性质 平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础． 1、公理1： （1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内； （2）符号语言表述：，，，； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”． 2、公理2： （1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； （2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件． “有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义． （4）公理2的推论： ①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②过两条相交直线，有且只有一个平面； ③过两条平行直线，有且只有一个平面． （5）作用：确定一个平面的依据． 3、公理3： （1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （2）符号语言表述：且； （3）图形语言表述： 知识点诠释： 公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据． 知识点三、异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 知识点四、空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 有无公共点 相交 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行 在同一平面内 没有公共点 异面 不同在任何一个平面内 没有公共点 知识点五、直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 无公共点 知识点九、平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 无公共点 两平面相交 有无数个公共点，这些点在一条直线上 一、点线共面的证明 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． 1、证明点线共面的主要依据： （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论