专题04 三角函数的应用（1个知识点4种题型1个易错点1种中考考法）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

专题04 三角函数的应用（1个知识点4种题型1个易错点1种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点） 【方法二】 实例探索法 题型1.方向角问题 题型2.坡度、坡角问题 题型3.方案决策问题 题型4.一题多解——求建筑物的高 【方法三】差异对比法 易错点：对俯角的意义理解错误 【方法四】仿真实战法 考法. 解直角三角形的应用-坡角问题 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用。 2. 能够把实际问题转化数学问题，能够借助计算器进行有关s'j函数的计算，并能够进一步对结果的意义进行说明，提高解决实际问题的能力。 3. 能利用解直角三角形的有关知识，解决测量、航海、工程技术等生活中的实际问题。 重难点：把实际问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形形达到求解的目的。 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点） 1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线. 2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线. 3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. 4．如图，坡面的铅垂高度()和水平宽度()的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即. 坡度通常写成的形式，如1︰1.5． 5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作. 坡度与坡角之间的关系: . 知识延伸※ 1． 方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所 成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）* 度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向. 2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角的取值范围为. 【例1】．（2023秋•成都期中）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点出发向右上方（与地面成，点，，，在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米秒，，（求小李到古塔的水平距离即的长．（结果精确到，参考数据：， 【例2】．（2023秋•盘州市期中）某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面如图所示．为台面，垂直于地面，表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角为，坡长为．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡的坡角，是改造后的斜坡在直线上），坡角为．求斜坡底端与平台的距离．（结果精确到【参考数据：，，；，，】 【例3】．（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，海岸边上有三个观测站，，，观测站在观测站的东北方向，观测站在观测站的正东方向，观测站，之间的距离为30海里．某天，观测站，，同时收到一艘轮船在处发出的求救信号，经分析，在观测站的南偏东方向，在观测站的东南方向，在观测站的正东方向． （1）求的长度．（结果精确到个位） （2）目前只有观测站与配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里时．收到求救信号后，因观测站的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去处，才能再去处（在处停留时间可忽略不计）；而观测站的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达处？（参考数据：， 【方法二】实例探索法 题型1.方向角问题 1．（2023•高碑店市模拟）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正北方向，由点向正东方向走米到达点，此时测得点在点的北偏西方向上，则河宽的长为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2023•金东区二模）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于　　米． A． B． C． D． 3．（2023秋•徐汇区期末）如图，一段东西向的限速公路长500米，在此公路的南面有一监测点，从监测点观察，限速公路的端点在监测点的北偏西方向，端点在监测点的东北方向，那么监测点到限速公路的距离是 　　 米（结果保留根号）． 4．（2023春•沙坪坝区校级期中）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点、均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点的南偏东方向且米，点在点的东北方向（参考数据：，，． （1）求道路的长度（精确到个位）； （2）若甲从点出发沿——的路径去点，与此同时乙从点出发，沿——的路径去点，其速度为40米分钟．