江西省婺源天佑中学2023-2024学年高三上学期1月考试数学试题

江西省婺源天佑中学2023-2024学年高三上学期2024年1月考试数学试题 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数，则（   ） A． B．3 C． D．10 2．下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（   ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 3．若函数（，）满足，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知向量，，若，则（    ） A．2或1 B．或 C．2或 D．或1 5．安排5名志愿者完成四项工作，其中项工作需2人，项工作不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配了工作，且每项工作均有人完成，则不同的安排方法共有（    ） A．66种 B．60种 C．54种 D．48种 6．如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．若数列满足，则（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 8．已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则（    ） A．1 B． C．0 D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分） 9．某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 则下列结论正确的为（   ） A．这位同学成绩的中位数是 B．这位同学成绩的平均数是 C．这位同学成绩的第百分位数是 D．若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变 10．已知是所有棱长都相等的直棱柱，则下列命题中正确的是（    ） A．当点在棱上，直线与侧面所成角最大为； B．当点在棱上（端点除外），点在棱上（端点除外），直线与直线可能相交； C．当点在侧面内，点在侧面内，存在直线垂直侧面 ； D．当点分别在三个侧面上，存在是直角三角形. 11．在棱长为2的正方体 中，M是底面ABCD的中心，Q是棱. 上的一点，且 N为线段AQ的中点，则（    ） A．C， M， N， Q四点共面 B．三棱锥A-DMN的体积为定值 C．当时，过A，M，Q三点的平面截正方体所得截面的面积为4 D．存在使得直线MB₁与平面CNQ垂直 12．是定义在R上的奇函数，对任意，均有，当时，，则下列结论正确的是（    ） A．4是函数的一个周期 B．当时， C．当时，的最大值为 D．函数在上有1012个零点 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．是定义在上的奇函数，且满足以下两个条件：对任意的都有，当时，，且，则函数在上的最大值为 ． 14．已知向量，若，则的值为 ． 15．在的展开式中，所有项的二项式系数之和为128，则的系数为 ． 16．已知数列的各项均为正整数，其前项和为.若且，则 ； . 四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且对任意恒成立，求的取值范围． 18．某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元. (1)求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元； (2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值. 19．已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为. (1)求这个函数的解析式，并写出它的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 20．+如图，在多面体中，四边形和四边形是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中，.      (1)证明：平面； (2)若，求点F到平面的距离. 21．在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，，平面，，点为中点. (1)在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由； (2)当，求平面与平面所成二面角的正弦值. 22．函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，若，求证：； (3)求证：对于任意都有. 数学参考答案 1．D 【分析】根据分段函数的定义，可得答案. 【详解】，. 故选：D. 2．B 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】① ，两个函数对应法则不一样，不是同一函数； ②，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函