双曲线讲义-2024届高三数学一轮复习

双曲线 一、知识梳理 1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为两条射线； ③若a>c，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 二、常用结论 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. 2.离心率e＝＝＝. 3.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 5.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. 6.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. 三、典例训练 一、单选题 1．（2022·江西南昌·统考三模）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（2023·广东肇庆·统考二模）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川绵阳·统考二模）设命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，若为真，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．（2021·北京·统考高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 7．（2023·广西·统考模拟预测）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2023下·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试）已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（    ） A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B．当曲线表示双曲线时，的取值范围是 C．当时，曲线表示一条直线 D．存在，使得曲线为等轴双曲线 9．（2022·河南·统考二模）设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·四川成都·三模）已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·上海嘉定·统考一模）已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（    ） ①的开口最为开阔； ②的开口比的更为开阔； ③和的开口的开阔程度相同. A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确 二、多选题 12．（2022上·湖北武汉·高二武汉市第十一中学校联考期末）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与坐标轴交于，，则（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线与双曲线共渐近线 C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线有两个交点 D．存在无数个点，使它与，两点的连线的斜率之积为3 13．（2021上·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期中）已知点､是双曲线的左､右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一