2024年人教版九年级数学中考专题训练：几何探究

2024年人教版九年级数学中考专题训练：几何探究 1．综合与实践 问题情境 如图1，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为C），延长交于点F，连接． 解决问题 请根据图1完成下列问题： （1）若，则______度； （2）试判断四边形的形状，并给予证明． 拓展探究 （3）如图2，若，请直接写出线段与的数量关系； （4）如图1，若，则的长为______ 2．综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接、，，则的值为_______． (2)如图2，在矩形中，，，点分别是上的两点，连接、，，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 3．正方形和等腰共顶点，将绕点逆时针旋转一周． (1)如图1，当点与点重合时，若，求的长； (2)如图2，为中点，连接，探究的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）条件下，连接，若，在旋转过程中，的最小值为___________． 4．八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，求的取值范围． [探究方法]他们通过探究发现，延长至点E，使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． [问题解决] (1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程． (2)如图2，是的中线，且，求证：． 5．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 6．某学习小组在研究图形变化规律时．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点M，N，连接，可得． (1)【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上．求证：； (2)【探究二】在图③中，连接，分别交，于点E，F．求证：； (3)【探究三】把三角尺旋转到如图④所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点E，F，连接交于点O，直接写出的值． 7．定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 8．【模型建立】 （1）如图①，点为的边上一点，连接，，若，，则的长为______； 【类比探究】 （2）如图②，在菱形中，为对角线，、分别为、边上的点，连接、，，延长交的延长线于点，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，菱形是王叔叔家一块花园的平面示意图，对角线是一条赏花通道，王叔叔准备在边、上分别取点、，连接并延长，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，并在和内种植单价为元平方米的太阳花，根据王叔叔的规划：，且种植太阳花的总资金不超过元，已知区域种满后花费了元，经测量，，请你通过计算说明，将区域种满该种太阳花后，资金是否够用？并说明理由． 9．在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交，于点，． (1)如图①，试探究当的度数为多少时，为的中点？说明理由； (2)如图②，当时，若，求正方形的边长； (3)如图③，延长交边于点，连接交于点，记正方形的面积为，的面积为，当时，求的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，，． (1)如图1，以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形，过点作轴于点，求点的坐标； (2)如图2，点为轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角三角形，点在第一象限，，当点运动时，的值是否发生变化？若