2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（相似三角形问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（相似三角形问题） 1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． (1)求点的坐标和抛物线的解析式； (2)为线段上的动点（不与点O．A重合），过点作垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，. ①用含m的代数式表示线段PN的长； ②若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求面积的最大值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C点，且. (1)求抛物线的解析式． (2)若点E为抛物线在第三象限上的一点，作轴于点F，若与相似，求点E的坐标． (3)连接，在x轴的正方向上找一点，当时，求t的值． 4．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线过点A、B、C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式并直接写出时x的取值范围． (3)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接，交于F，求以C、E、F为顶点三角形与相似时点P的坐标． 5．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点．          (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一点，若，试求点P的坐标； (3)如图2，抛物线对称轴交x轴于点D，N点为x轴上方抛物线上一动点，直线交抛物线对称轴于点E，直线交抛物线对称轴于点F，在点N的运动过程中，试求的值． 6．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点是二次函数上一动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标； (3)在二次函数的图象上，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点．若点为轴上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．    (1)直接写出，，三点的坐标； (2)①如图1，直线交直线于点，若点恰好在线段的垂直平分线上，且时，求的值； ②如图2，连接，，抛物线上存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 8．如图，抛物线经过原点和点，它的对称轴交抛物线于点．两点在对称轴上（点在的上方），且关于点对称，直线交抛物线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），若的面积为，求点的坐标； (3)如图（2），若，求点的坐标． 9．如图（1）所示，抛物线，经过，，三点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否一点，使得以，，的顶点的三角形与相似，如有请求出满足要求的所有点，如果没有，请说明理由． (3)如图（2）所示，点，为抛物线上的动点，满足，请证明直线必定通过一个定点，并求出这个定点的坐标． 10．如图，抛物线过点，，D为抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求的正切值； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点，是否存在点M使和相似？若存在，求点M坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，若一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，二次函数的图象过，两点，交轴另一点的坐标，顶点为点，对称轴交于，    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是上方抛物线上一点．过点作轴于，分别交、于、，作于，于，若，求点的坐标； (3)如图2，点是上方抛物线上一点．过点作轴于，交于，连接、，若中的一个内角是的2倍，求点的横坐标 12．如图，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，连接、．    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点P，使的值最小，求P点坐标． (3)点M在线段上（与A、B不重合），点N在线段上（与B、C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点和，连接，点为抛物线上一动点，过点Р作轴交直线于点M，交x轴于点N．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值； (3)当Р点在运动过程中，在y轴上是否存在点，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点Р与点C相对应)，若存在，