2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（特殊四边形问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（特殊四边形问题） 1．如图1，抛物线C：与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，，其对称轴为直线． (1)求抛物线C的解析式； (2)已知点，点E，F均在抛物线上（点E在点F右侧），若以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)如图2，将抛物线C平移得到抛物线，使的顶点在原点，过点的两条直线，它们与y轴不平行，都与抛物线只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线必过定点． 2．已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，点关于该抛物线对称轴的对称点为点． (1)求该抛物线的解析式． (2)是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是直线上方的抛物线上一动点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？请求出此时的最大值和点的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于点，两点，（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)求该拋物线的解析式； (2)若为拋物线的顶点，求的面积； (3)若是平面直角坐标系内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若P是直线下方的抛物线上一个动点，当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标． (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点N在y轴上，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交于点，与轴交于点，以原点，点，点为顶点在第一象限内作矩形． (1)点坐标为______； (2)连接矩形对角线，交于点，若将抛物线向下平移个单位，使得平移后的抛物线经过点，求的值； (3)若将矩形向左平移个单位（），边与分别与抛物线交于点，点．若点纵坐标是点纵坐标的倍，求的值． 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交与点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ (3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． (4)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 7．如图，已知二次函数的图像与轴交于点、点，与轴交于点，且，点为抛物线的顶点，连接． (1)求点的坐标及该抛物线的解析式， (2)如图1，点在直线下方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线对称轴上运动，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程． 8．如图1，二次函数的图象交轴于点A，点B，交轴于点C，过点A的直线与抛物线交于点.    (1)请确定直线的解析式； (2)连接，点P是抛物线上的一个动点，过点P作轴的平行线交直线于点E，交线段于点F； ①如果点P在第四象限的抛物线上运动，当时，求点P的坐标； ②设直线与轴的交点为G，如图2，在点P运动的过程中是否存在以点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使最大时点的坐标和的面积； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，是该抛物线的顶点．    (1)求的值． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在抛物线对称轴上是否存在点，使？若存在，请求出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (4)在（3）的条件下，平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图，的两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，、两点的坐标分别为、，抛物线经过B点，且顶点在直线上．      (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)若是由沿x轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点C和