抛物线习题课课件-2024届高三数学一轮复习

抛物线 1.抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的_____. 相等 焦点 准线 2 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形         范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 2.抛物线的标准方程和简单几何性质 3 焦点 _______ ________ _______ ________ 准线 方程 _________ _______ __________ _______ 对称轴 _____ _____ 顶点 ______ 离心率 e＝___ x轴 y轴 (0,0) 1 4 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.(　 　) (2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0).(　 　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　 　) (4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　 　) × × √ × √ 2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于 A.9 B.8 C.7 D.6 √ 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得， |PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1 ＝x1＋x2＋2＝8. 7 3.抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为 A.y2＝8x B.y2＝4x C.y2＝2x D.y2＝x √ 8 例1　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于 题型一 抛物线的定义及应用 √ 方法一　由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1. 因为|BF|＝3－1＝2， 解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2). 不妨取A(1,2)， 方法二　由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2， 所以|AF|＝2. 因为抛物线的通径长为2p＝4， 所以AF的长为通径长的一半， 所以AF⊥x轴， (2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________. 42或22 当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D， 则|PF|＝|PD|， |PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 当点M，P，D三点共线时， |PM|＋|PF|的值最小. ① 当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小. 解得p＝22或p＝58. 当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去. 综上，p＝42或p＝22. ② √ (2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 √ 直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线， 如图所示，此时d1＋d2最小为点F到直线x＋y－4＝0的距离. 题型二 抛物线的标准方程 例2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y＋4＝0； 准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0). (2)过点(3，－4)； ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上. 令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0). ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. √ 则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. 题型三 抛物线的几何性质 √ 解得p＝2(p＝－6舍去). √ √ √ 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF