1.1.2数列的函数特性（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

1.1.2数列的函数特性 温故知新 一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成 简记为数列 ，其中数列的第1项 也称首项； 是数列的第n项，也叫数列的通项. 新中国成立后，我国1952～1994年间部分年份进出口贸易总额（亿美元）数据排成一数列： 引入新课 请看下面例子 19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1 154.4,2 367.3. 由上图可以看出我国1952～1994年部分年份，各时期进出口贸易总额的增长变化情况. 贸易总额/亿美元 年份/年 我们可以把一个数列用图像来表示： 图1是数列①：3,4,5,6,7,8,9的图像. O 2 4 6 n 2 4 6 8 an 图1 图2是数列⑤： 的图像. O 1 2 3 4 n 1 an 图2 图3是数列⑥：2100,2100,2100,…，2100的图像. 思考:通过这几个例子你是否发现用图像来表示数列的好处. O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 2100 an 图3 从图中可以看出，数列①的函数图像上升，称这样的数列为递增数列；数列⑤的函数图像下降，称这样的数列为递减数列；数列⑥称为常数列. 思考：你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的概念呢？ 一般地，一个数列{an}，如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项，即an+1> an,那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项，即an+1<an,那么这个数列叫作递减数列. 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列. C 巩固提升 2．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　　 B．递减数列 C．摆动数列　 D．常数列 [解析]　由已知得an＋1－an＝3>0，故{an}为递增数列． A B A 5．已知数列的通项公式为an＝－4n＋10，则数列是________数列．(填递增或递减) [解析]　∵an＋1－an＝－4(n＋1)＋10－[－4n＋10]＝－4<0. ∴an＋1<an，∴数列为递减数列． 递减　 1．数列的单调性 (1)单调性理解，数列是特殊的函数，特殊在于其定义域为正整数集或它的子集．有些数列不存在单调性如an＝(－1)n或常数数列．有些数列在正整数集上有多个单调情况，如an＝(n－10)2在n∈{1,2，…，10}上单调递减．在n∈{10,11，…}单调递增．有些数列在正整数集上单调性一定如an＝2n＋1. (2)判断方法：①比较an＋1与an的大小(即定义法) ②利用数列的图像直观判断． 2．数列的递推关系 (1)有些数列的给出利用通项公式不直观或不能写成关于n的函数，往往借助于相邻之间的关系给出：如数列1,1,2,3,5,8,13，… 此数列的规律可以写成an＋2＝an＋1＋an.其中a1＝1，a2＝1.可以利用以上关系列出整个数列，把此种类型的表示方法称为递推公式法． (2)递推公式存在一定的弊端，不能直接写出指定的某一项的值，有时需转化成通项公式，往往需运用归纳猜想或逻辑推理的方法得到． 3．函数与数列的联系与区别 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题． 另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N＋或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图像是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图像可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an＞an－1)，则图像呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增⇔an＋1＞an对任意的n(n∈N＋)都成立．类似地，有{an}递减⇔an＋1＜an对任意的n(n∈N＋)都成立． 例1 判断下列无穷数列的增减性. 例2 作出数列 的图像，并分析数列的增减性. an an 图4 5 3 O 2 4 n ● ● ● ● 1 ● ● ● ● ● 1 解 图4是这个数列的图像，数列各项的值负正相间，表示数列的各点相对于横轴上下摆动，它既不是递增的，也不是递减的. 例3 一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途（包括A，B）共有8站，从A地出发时，装