专题09 三角恒等变换、函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数应用-2023-2024学年高一数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）

专题09 三角恒等变换、函数y＝Asin(ωx＋)及三角函数应用 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 5 【重点保分一】两角和差余弦公式 5 【重点保分二】两角和差正弦公式 5 【重点保分三】两角和差正切公式 6 【重点保分四】二倍角公式 7 【重点保分五】降幂公式 8 【重点保分六】辅助角公式 9 【难点增分】 10 【难点增分一】值与角相互转化问题 10 【难点增分二】函数y＝Asin(ωx＋)的图象 10 【难点增分三】三角函数应用模型 12 【培优满分】 14 【培优满分一】的取值范围 14 【培优满分二】三角函数综合应用 16 【技巧总结】 18 【单元检测】 23 知识梳理 1.两角差的余弦公式 (1)任意角α，β都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ. (2)任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β). 2.两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，其中α，β∈R. 3.两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式 简记 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ (2)记忆口诀：“正余余正，符号相同”. 4.两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式 简记符号 公式 使用条件 T(α＋β) tan(α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) T(α－β) tan(α－β) ＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) (2)S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)都叫做和角公式；S(α－β)，C(α－β)，T(α－β)都叫做差角公式. (3)公式变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). 5.二倍角的正(余)弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin__αcos__α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 6.二倍角的余弦公式的变形 (1)cos 2α＝2cos2α－1，cos 2α＝1－2sin2α. (2)常用的二倍角公式的变形： ①1＋cos 2α＝2cos2α； ②1－cos 2α＝2sin2α； ③cos α＝； ④1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 7.半角公式 sin＝±，cos＝±，tan＝±(无理形式). 以上称之为半角公式，符号由所在的象限决定.另tan＝＝. 8.辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定. 9.探索φ(φ≠0)对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到函数y＝sin(x＋φ)的图象. 10.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期是，把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到y＝sin(ωx＋φ)的图象. 11.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 (1)一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域为[－A，A]，最大值是A，最小值是－A. (2)通过y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象方法： 先画出函数y＝sin x的图象，再把正弦曲线向左(或右)平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 12.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴