第02讲 垂直（4个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2023-2024学年七年级数学下册同步学与练（人教版）

第02讲 垂直 课程标准 学习目标 ①垂直的定义 ②垂直的画法 ③垂线的性质 ④点到直线的距离 1. 掌握垂线的定义及其表示。 2. 能够利用三角板或两角器画垂线。 3. 掌握垂线的性质并且能够运用性质进行相关的计算。 知识点01 垂直的定义 1. 垂直的定义： 两条直线相交形成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。若直线a与直线b垂直，表示为 。 由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是 。 【即学即练1】 1．（2023•封丘县二模）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥OD，若∠AOD＝4∠AOC，则∠AOE的度数为（　　） A．48° B．54° C．64° D．72° 知识点02 垂线的画法 1. 利用三角板过已知点作直线的垂线的具体步骤： （1） 三直角三角板的一半与已知直线 。 （2） 沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过 。 （3） 沿与已知直线不重合的边画 ，这条直线即为已知直线的垂线。 【即学即练1】 2．（2023春•梁平区期末）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点03 垂线的性质 1. 性质1： 在同一平面内，过一点作已知直线的垂线， 条直线与已知直线垂直。 有且只有：存在且唯一。 2. 性质2： 过 一点作已知直线的 ，点到 之间的部分叫做垂线段。直线外一点连接直线上所有点的连线中， 最短。 注意：若不是直线外一点，则不存在垂线段。 【即学即练1】 3．（2023春•裕华区期中）如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的垂线，可画出的垂线有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【即学即练2】 4．（2023春•博罗县期末）春节过后，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田（记作点O），以便对农田的小麦进行灌溉，现设计了四条路段OA，OB，OC，OD，如图所示，其中最短的一条路线是（　　） A．OA B．OB C．OC D．OD 知识点04 点到直线的距离 1. 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的 是直线外一点到该直线的距离。 【即学即练1】 5．（2023春•宝坻区校级月考）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线m的距离（　　） A．等于5cm B．等于4cm C．小于4cm D．不大于4cm 题型01 与垂直有关的计算 【典例1】（2022秋•新都区期末）如图，OC⊥AB，垂足为O，直线DE经过点O，∠COD＝50°，则∠BOE＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式1】（2023春•呼和浩特期末）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【变式2】（2023春•自贡期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠EOB＝50°，求∠AOD和∠AOC的度数． 【变式3】（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠AOF，EO⊥OD，∠EOA＝55°，求∠BOF的度数． 题型02 垂线段最短的应用 【典例1】（2023春•栖霞市期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式1】（2023春•东明县期中）如图，小李计划把河中的水引到水池C进行蓄水，结果发现沿线段CD挖渠，能使水渠最短，其中蕴含的数学原理是（　　） A．过两点有且仅有一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【变式2】（2023•青秀区校级模拟）如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A、B、C、结果送到B快递点的快递员先到．理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线 【变式3】（2022秋•榆树市期末）如图，将