4.3.1等比数列的概念（1）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等差数列定义: 一般地,如果一数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 问题2: 类比等差数列的研究思路和方法,从运算的角度出发,你觉得还有怎样的数列是值得研究的? 问题1: 等差数列是如何定义的? 一、复习旧知 4.3.1 等比数列的概念 高二数学选择性必修第二册 第四章 数列 思一思: 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 二、情景展示 曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 庄子 意思:“一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完” 。 如果将“一尺之棰”视为一份, 则每日剩下的部分依次为: 二、情景展示 细菌分裂过程 细菌个数 第一次 第二次 第三次 2 4 第 n 次 …… 1,2,4,8,16,32,… 2n 分裂次数 8 二、情景展示 在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就 通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各 次分裂产生的后代个数依次是 4.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是 实际问题中的数列 问题1:类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律?你发现了什么规律? 三、探究新知 8 问题2:类比等差数列的概念,从上述几个数列的规律中,你能抽象出等比数列的概念吗? 如果一个数列从第_项起,每一项与它的前一项的_都等于_一个常数,那么这个数列就叫做_ 常数叫做等 数列的_ 等比数列 二 比 同 等比数列. 公比 等差数列 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等差数列.常数叫做等差数列的公差. 公差通常用字母d表示 公比通常用字母q表示 比 1.等比数列的定义 1.已知等比数列{ an }:(1) an 能不能是零? ; (2)公比q能不能是1? 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 . ①已知a1=2,an=3an+1; ② a,a,a,……,a; ③1,-1,1,……,(-1)n+1; ④sin1,sin2,sin4,sin8,……,sin2n-1; ⑤2a,2a,2a,……,2a 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列? 不能 能 √ √ 非零的 常数列 ①③⑤ 练一练: √ 问题3:在等差数列中,我们学习了等差中项的概念,通过类比,我们在等比数列中有什么相应的概念?如何定义? 2.等比中项 等差中项 等比中项 如果三个数a,A,b组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项. 如果三个数a,G,b组成等比数列,那么G叫做a和b的等比中项。 注意:(1)同号两数才有等比中项; (2)等比中项有两个,它们互为相反数; (3)若三个数成等比数列,则可设这三个 数分别为a/q,a,aq 1、若三个数为x,2x+2,3x+3成等比数列,则x=_ 练一练: 2、判断: (1).在等比数列{an}中,是否有 成立? (2).如果数列{an}中,对于任意的正整数n(n≥2),都有 那么,{an}一定是等比数列吗? 下列两个数是否有等比中项? (1)1, , 9 (2)-1, ,-4 (3)-1, ,1 3 2 3.变式训练 问题4: 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 追问1:回忆一下,等差数列通项公式是如何归纳猜想出来的,类比学习,等比数列的通项公式又怎样归纳出来? 问题: 用 和 表示第 项 3.等比数列的通项公式 等差数列 等比数列 不完全归纳法 问题4: 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 追问1:除了用归纳法猜想出来,我们还用什么方法推导出等差数列的通项公式? 由类比的思想方法,从运算角度出发,可以用什么方法推导等比数列的通项公式? 累加法 累乘法 累乘法 累加法 设等差数列{ a n },公差为d 设等比数列{ a n},公比为 q 问题4: 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 追问2:除了累乘法以外,还有没有其他方法推导等比数列的通项公式? 迭代法 3.等比数列的通项公式: 等比数列 ,首项为 ,公比为q,则通项公式为 an=a1qn-1 (1)已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项. 注意: (2) 已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量. 问题5: 即 , 4.等比数列与指数函数的关系 追问1:类比指数函数的性质,你能说说公比的等比数列的单调性吗? 问题5:类比等差数列单调性判断,等比数列的单调性如何? 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 无单调性 问题5:类比等差数列单调性判断,等比数列的单调性如何? 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 不变 问题5:类比等差数列单调性判断,