2.4.1圆的标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4圆的方程 2.4.1圆的标准方程 永宁中学 王耀 问题1 我们按照什么样的脉络研究直线？ 直线 直线的方程 直线的性质 几何要素：点+方向 通过方程研究 核心方法：坐标法 问题2 直线和圆是平面几何中的基本图形，你能类比直线研究脉络，给出圆的研究脉络吗？ 圆 圆的方程 圆的性质 几何要素 通过方程研究 学习任务：明确圆的几何要素，确定圆的方程 （一）创设情境，明确脉络 思考 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢? 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了，由此， 我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程. r M x A O y • • 活动：请大家动手作一个圆 问题3 如何判断你作出的图形是圆？（平面几何中圆是如何定义的？） 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. • M （二）类比探索，建立方程 探究 若一个圆的圆心为A(a, b), 半径为r, 那么如何求此圆的方程 ? 设M(x, y)是圆上任意一点, 根据定义, 点M到圆心A的距离等于r, 所以圆A就是集合 P＝{ M | |MA|＝r }. 由两点间的距离公式, 点M(x,y)满足的条件可表示 把上式两边平方, 得 r M x A(a,b) O y • • (x,y) 由上述讨论可知, 圆上任意点M的坐标都满足方程①, 反之, 若点M的坐标满足方程①, 这就说明点M与圆心A的距离为r, 即点M在圆心为A的圆上. 这时我们把方程①称为以圆心为A(a,b), 半径为r的圆的标准方程. ① 问题4 通过上述过程得出方程①后，我们就能说方程①是圆的方程吗？ 还需要做什么？为什么要这么做？ 1. 是关于x、y的二元二次方程; 3. 确定圆的方程必须具备三个独立条件, 即 a、b、r . 4.若圆心在坐标原点, 则圆方程为 x2 + y 2 = r2 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 圆的标准方程： 以A(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是 r M x A(a,b) O y • • (x,y) 方程的特点: （三）辨析理解，认识方程 例1 求圆心为A(2,－3), 半径为5的圆的标准方程, 并判断点M1(5,－7), M2(－2,－1)是否在这个圆上. 解： 圆心为A(2, -3)，半径为5的圆的标准方程： (x-2)2+(y+3)2=25. 把点M1(5, -7)的坐标代入圆的方程，得(5-2)2+(-7+3)2=25，所以点M1在圆上. 把点M2(-2, -1)的坐标代入圆的方程，得(-2-2)2+(-1+3)2=20， 即点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上 . （四）思考交流，应用方程 追问 点M2 在圆内还是圆外？如何判断？ 问题5 如何确定点P(x0, y0)与圆 的位置关系？ 例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, －3), C(2, －8), 求△ABC的外接圆的标准方程. △ABC的外接圓的圆心是△ABC的外心, 即△ABC三边垂直平分线的交点. x O y A(5,1) • C(2,-8) • B(7,-3) • • 解1：(待定系数法) 例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, －3), C(2, －8), 求△ABC的外接圆的标准方程. △ABC的外接圓的圆心是△ABC的外心, 即△ABC三边垂直平分线的交点. x O y A(5,1) • C(2,-8) • B(7,-3) • r M • 解2：（数形结合法） 问题6 观察“待定系数法”中的三元方程组化简得到的二元方程和“数形结合”中垂线的方程，你有什么发现？为什么？ 结论：方程作差的几何意义就是圆心到弦两端点的距离相等，即圆心在弦的垂直平分线上，故两种方法的本质相同 问题7 比较“待定系数法”和“数形结合法”求圆的方程，两种方法各有什么优点？ 结论：待定系数法较为直接，但运算较为复杂； 数形结合法分析几何性质简化数学运算. 感悟：本章节的学习既要重视“代数运算”，也要重视“几何直观” 解1：(待定系数法) 由已知条件可得 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0上，求此圆的标准方程． （尝试用多种方法解决本题，列出关系式即可，不用求解） 设圆C的方程为 解2： 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0上，求此圆的标准方程． • x O y A(1,