5.3.1诱导公式课件（第一课时）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.3 诱导公式 高一上学期 1 前面利用圆的几何性质，得到了终边相同角的三角函数关系以及同角三角函数之间的基本关系. 公式一 其中 作用是把求任意角的三角函数值转化为求范围内的角的三角函数值. 复习回顾 我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性. 活动：如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点. 探究1：作关于原点的对称点，以为终边的角与角有什么关系？ 探究1：角与角的三角函数值之间有什么关系？ ， 公式一 新知探究 因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可. 设，. 因为是点关于原点的对称点，则， 根据三角函数的定义，得： 从而得： 公式二 新知探究 活动：如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点. 探究2：作关于轴的对称点，以为终边的角的三角函数值与角的三角函数值有什么关系？ 探究角与的三角函数值间的关系 此时，我们易得：， 根据三角函数的定义，得： 从而得： 公式三 新知探究 活动：如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点. 探究3：作关于轴的对称点，则以为终边的角与角的三角函数值之间有什么关系？ 此时，我们易得：， 根据三角函数的定义，得： 从而得： 探究角与的三角函数值间的关系 公式四 新知探究 y x O A(1,0) r=1 α α的终边 归纳总结 α sin α cos α tan α 归纳总结 诱导公式一~四 公式一 公式二 公式三 公式四 大化小(0~2π) 负化正 大化小 (锐角) 负化正 化任意角为锐角 大化小 (锐角) 例1.利用公式求下列三角函数值： (1)；(2)(3)(4) 解：(1) (2) (3) (4) ② ① ④ ③ ① ② ③ ① ④ 典例精析 由例1，你对公式一公式四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？ 利用公式一公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面的步骤进行： 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 锐角的 三角函数 的角的三角函数 用公式 三或一 用公式 二或四 用公式一 归纳总结 数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题.数学家制作了锐角三角函数表，并通过公式一四，按上述步骤解决了问题。现在，我们可以利用计算工具求任意角的三角函数值，所以这些公式的“求值”作用已经不重要了，但它们所体现的三角函数的对称性，在解决三角函数的各种问题中却依然有重要作用. 教材P191 例2.化简： 解：， 所以，原式 教材P191 典例精析 典例精析 习题演练 活动2：如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点. 探究1：作关于直线的对称点，以为终边的角与有什么关系？ 探究1：角与角的三角函数值之间有什么关系？ ， 因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系. 新知探究 设，.由于是点关于直线的对称点， 可以证明 (证明过程)如图，过分别作垂线. 因为，所以 因此， 根据三角函数的定义，得： 公式五 活动2：如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点. 探究2：作关于直线的对称点，作关于轴的对称点，以为终边的角与有什么关系？ 如图，以为终边的角都是与角终边相同的角， 即 因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可. 设，.由于是点关于轴的对称点， 所以，又 所以. 根据三角函数的定义，得： 公式六 设，.由于是点关于轴的对称点，可以证明 (证明过程)如图，过分别作垂线. 因为，所以 因此， 根据三角函数的定义，得： 由公式四、五可得： 公式五 公式六 利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 正余弦互化 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 诱导公式一六 化任意角为锐角 正余弦互化 例4.化简 解：原式 = 新知探究 作业布置 B 新知探究 例题：已知，求： （1）； （2）； （3）； （4）； ✔  练习：已知函数f(x)＝ eq \f(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2x))tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10π,3)＋2x)),tan \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(4π,3)))sin \