5.2.2 同角三角函数的基本关系课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.2.2 同角三角函数的基本关系 高一上学期 1 上节课中，我们得到了公式一，即终边相同的角的同一三角函数值相等. 思考1：那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系. 新知探究 探究1：如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，点P的横、纵坐标之间有什么内在联系？由此能得到什么结论？ 如图，设点是角的终边与单位圆的交点. 过作轴的垂线，交轴于， 则是直角三角形，而且 由勾股定理有：，因此， 显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立. 新知生成 根据三角函数的定义，当时，有： 新知生成 题型——同角三角函数的基本关系 知一求二 教材P184 练习：若角的终边在第三象限，则( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 B B 习题演练 C 习题演练 题型——弦切互化 已知，求： （1） （2） （3） （4） 分子分母是关于sin,cos的齐次式 分子为1 暗含：分母为1 法2:同除以cosα或cos2α 法1:分别求sinα,cosα代入 (2021年全国I卷)已知，则__________. 习题演练 10 先求tanα 习题演练 题型——与的关系 A 解：法一，得： 解得：或 又，所以 ，所以 习题演练 检验 习题演练 习题演练 构造完全平方公式 题型——应用同角三角函数关系式化简与证明 题型——应用同角三角函数关系式化简与证明 教材P184 1.化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. 2.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. 3.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的. 证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则： 1.常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等. 2.原则：由繁到简、变异为同. 三角函数式的化简技巧： 同角三角函数的基本关系 常见变形 课堂小结 教材P186 作业布置 练习：已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin4α－cos4α的值为(　　) A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,5) C. eq \f(1,5) D．eq \f(3,5) 练习：若eq \f(sin2θ＋4,cos θ＋1)＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝(　 　) A．0 B．2 C．4 D．0或4 解析：∵eq \f(sin2θ＋4,cos θ＋1)＝2，∴sin2θ＋4＝2cos θ＋2，∴sin2θ＋2＝2cos θ， ∴1－cos2θ＋2＝2cos θ，即(cos θ－1)(cos θ＋3)＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍)， 故有cos θ＝1，sin θ＝0．∴(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4×1＝4． [解析]　法一(通解)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin θ＝\f(2,\r(5))，,cos θ＝－\f(1,\r(5))))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin θ＝－\f(2,\r(5))，,cos θ＝\f(1,\r(5))，)) 则eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cos θ)＝eq \f(sin θsin θ＋cos θ2,sin θ＋cos θ)＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ ＝eq \f(4,5)－eq \f(2,5)＝eq \f(2,5)． 法二(优解)：因为tan θ＝－2，原式＝eq \f(sin θsin θ＋cos θ2,sin θ＋cos θ)＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝eq \f(sin2θ＋sin θcos θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq \f(tan2θ＋tan θ,1＋tan2θ)＝eq \f(4－2,1＋4)＝eq \f(2,5)． 练习：已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3，4)，则 eq \f(sinα＋2cos α,sin α－cos α) ＝________． 解析：根据角α