4.5.1 函数的零点与方程的根课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5 函数的零点与方程的解 高一上学期 1 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根() 有两个不相等的实数根 没有实数根 函数的图象与轴的交点 ,0) ,0) 无 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 于是，二次函数的两个零点是. 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标. 所以方程有实数解 函数有零点 函数的图象与轴有公共点 注：零点不是点，是一个实数. 新知生成 (5)函数的零点为_________. 题型一：求函数的零点 1 3 -1，-4 无 解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)； 当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2. ∴函数的零点个数为2. B 题型一：求函数的零点 6 求解： 由此可知，求方程的实数解，就是确定函数的零点. 一般地，对于不能用公式求解的方程，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解. 下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手. 是否有根？ 有几个根？ 如何判断？ 新知探究 探究：对于二次函数,观察它的图象，发现它在区间上有零点.这时， 思考1：函数图象与轴有什么关系？ 思考2：在区间上是否也有这种关系？ 思考3：零点附近的函数值有何关系？ 思考4：如何刻画这种关系？ 探究：常见函数的零点的共性 观察二次函数的图象： (1)_______，_______， 填“＜”或“＞”)． 在区间上有零点______； (2) 填“＜”或“＞”).在区间上有零点______； x =－1 －3 5 < x=3 < 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y O -2 -1 -4 -3 -2 -1 探究：常见函数的零点的共性 10 观察图象,填空: ①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或“＞”) 在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零点； ②在区间(b,c)上,f(b)·f(c) ___0(填“＜”或“＞”) 在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零点； ③在区间(c,d)上f(c)·f(d) ___0(填“＜”或“＞”) 在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)零点. ④在区间(e,g)上f(e)·f(g) ___0(填“＜”或“＞”) 在区间(e,g)上,____(填“有”或“无”)零点. 有 < 有 < 有 < e g O x y < 无 函数零点存在定理 一般地，如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解. 例2：判断对错，若不正确，请使用函数图象举出反例. 2 零点存在性定理 （1）已知函数在区间上连续，且， 则在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ） （2）已知函数在区间上连续，且， 则在区间内没有零点. （ ） （3）已知函数y=f(x)在区间上满足， 则在区间内一定存在零点. （ ） × × × a b O x y a b O x y a b O x y 例3：若函数在区间上的图象是连续不断的曲线，且函数在内有零点，则的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于0 C 分析：,则函数在上一定有零点，但是函数在上有零点，不一定成立. 练一练 14 函数零点存在定理 一般地，如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解. 是 的什么条件? 充分不必要 求解： 求函数的零点的个数． 解：(法一)利用计算工具， 列出对应值表，并画出图象. … … 1 -4 2 -1.3069 3 1.0986 4 3.3863 5 5.6094 6 7.7918 7 9.9459 8 12.0794 9 14.1972 零点问题 题型二：判断函数零点个数 求函数的零点的个数． 由零点存在定理可知，函数在区间内至少有一个零点. 容易证明，函数是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解. 思考：定理中，增加一个什么条件，能使零点有唯一性呢？ 在内为单调函