22.2二次函数与一元二次方程讲义2023-2024学年人教版数学九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程 知识梳理 二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 基础训练 一、单选题 1．如图，抛物线与x轴交于点和点，则当时，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），点B（3，0），交y轴正半轴于点C，给出下列结论： ①a＝－1, b＝2, c＝3； ②若0＜x＜4，则5a＜y＜－3a； ③对任意实数m，一定有am2＋bm＋a≤0； ④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两个根为－1和．其中正确的结论是(　　) A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 3．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　） A．b2＞4ac B．ax2+bx+c≥﹣6 C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1 4．将函数y＝x2﹣2x（x≥0）的图象沿y轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函数y＝x2﹣2|x|的图象，关于x的方程x2﹣2|x|＝a，在﹣2＜x＜2的范围内恰有两个实数根时，a的值为（　　） A．1 B．0 C． D．﹣1 5．已知二次函数y = ax2+ bx + c(a ≠0)的最小值为2，则（ ） A．a > 0，b2 – 4ac = 0 B．a > 0，b2 – 4ac < 0 C．a < 0，b2 – 4ac = 0 D．a < 0，b2 – 4ac > 0 6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④当x＜1时，y＜0．其中正确的命题是（　　） A．②③ B．①③ C．①② D．①③④ 7．抛物线的图像与坐标轴的交点个数是（ ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 8．已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ） A．－2 B．12 C．24 D．－2或24 9．已知抛物线与轴相交于点（点在点左侧），顶点为.平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ） A． B． C． D． 10．对于每个非零自然数，抛物线与轴交于两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为 ______． 12．若二次函数与轴有两个不同交点，则的取值范围是__________． 13．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝_____． 14．关于的函数与坐标轴有两个交点，则=____________. 15．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y=-x+3的图象交于A(-2，m)，B(1，n)两点，则方程ax2+(b+1)x+c-3=0(a≠0)的根为_______． 三、解答题 16．设一次函数和二次函数． （1）若，的图象都经过点，求这两个函数的表达式． （2）求证：，的图象必有交点． （3）若，，的图象交于点，（），设为图象上一点，求的值． 17．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 点D的坐标为，过D作y轴垂线与抛物线相交于点，（点P在点Q的左侧），与直线相交于点． （1）在同一坐标系内画出抛物线与直线BC的草图； （2）当时，比较，，的大小关系； （3）若，求的取值范围． 18．对于关于x的方程x2＋（2m﹣1）x＋4﹣2m＝0，求满足下列条件的m的取值范围， （1）两个正根； （2）有两个负根； （3）两个根都小于﹣1； （4）两个根都大于； （5）一个根大于2，一个根小于2； （6）两个根都在(0，2)内； （7）两个根有且仅有一个在(0，2)内； （8）一个根在(﹣2，0)内，另一个根在(1，3)内； （9）一个正根，