3.3.2抛物线的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(一) 圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹, 当0<e<1时，是椭圆； (定点F不在定直线l上) 当e=1时，是抛物线 . 复习引入 (二) 四种形式抛物线的标准方程： 图 形 方 程 焦 点 准 线 l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） l F y x O 根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线方程对应关系如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？ 第一，一次项的变量如为x,则x轴为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴x轴上. 一次项的变量如为y,则y轴为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴Y轴上. 第二，一次变量的系数正负决定了开口方向 课堂探究 思考：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为应该研究抛物线y2 = 2px（p>0）的哪些几何性质？如何研究这些性质。 4 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2抛物线的简单几何性质 使用教材：人教A版2019选择性必修第一册 授课教师：李祥老师 思一思： P(x,y) 一、抛物线的几何性质 抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 1、范围 由抛物线y2 =2px（p>0） 而 所以抛物线的范围为 关于x轴 对称 由于点 也满 足 ，故抛物线 (p>0)关于x轴对称. y2 = 2px y2 = 2px 2、对称性 P(x,y) 定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线 的顶点。 P(x,y) 由y2 = 2px （p>0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。 注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。 ３、顶点 4、离心率 P(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。 5、开口方向 P(x,y) 抛物线y2 =2px（p>0）的开口方向向右。 +X，x轴正半轴，向右 -X，x轴负半轴，向左 +y，y轴正半轴，向上 -y，y轴负半轴，向下 思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P(x,y) x y O F A B y2=2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径， 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. |AB|=2p 通径 6、 2p越大，抛物线张口越大. P越大,开口越开阔 （二）归纳：抛物线的几何性质 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 （三）圆锥曲线的几何性质对比： 　例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，经过点M（２，　　），求它的标准方程， 　　　因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　）， 解： 所以设方程为： 又因为点M在抛物线上： 所以： 因此所求抛物线标准方程为： （三）、例题讲解： 变式题１：求并顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M（２，　　），抛物线的标准方程。 （三）、例题讲解： 例2 斜率为1的直线 l经过抛物线y2 = 4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长 法一:直接求两点坐标,计算弦长 法三:设而不求,运用焦点弦公式,计算弦长 例题解析 联立方程组 例题解析 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 |PF|=x0+p/2 焦半径公式： 焦半径 7、 x y O F P x0 p/2 焦半径及焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离 P(x0，y0)在y2=2px上， P(x0，y0)在y2=-2px上, P(x0，y0)在x2=2py上, P(x0，y0)在x2=-2py上, 方程 图 形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦的长度 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞