圆的方程课件-2024届高三数学一轮复习

圆的方程 1.圆的定义和圆的方程 定义 平面上到_____的距离等于_____的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C______ 半径为___ 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C____________ 半径r＝______________ (a，b) r 定点 定长 2 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 圆外 圆上 圆内 3 1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上. 3.圆心在任一弦的垂直平分线上. 4 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　 　) (2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆.(　 　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　 　) √ √ √ × 1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2 √ 2.若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为 A.(－2,0) B.(－∞，－2)∪(0，＋∞) C.[－2,0] D.(－∞，－2]∪[0，＋∞) √ 由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0， 得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a， 由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2. 7 3.(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是 A.(0,2) B.(3,3) C.(－2,2) D.(4,1) √ √ 由(0－1)2＋(2＋2)2＜25知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25知(3,3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上，由(4－1)2＋(1＋2)2＜25知(4,1)在圆内. 8 例1　(1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的 一个圆的方程为________________________________________________ __________________________________. 圆的方程 (x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0. 若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)， 所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0， 即(x－2)2＋(y－3)2＝13； 若过(0,0)，(4,0)，(4,2)， 所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0， 即(x－2)2＋(y－1)2＝5； 若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)， 若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)， (2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为___________________. (x－1)2＋(y＋1)2＝5 方法一　设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 方法二　设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， ∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 方法三　设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r， ∴M(1，－1)， ∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5， ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 跟踪训练1　(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是 A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝4 √ 根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. (2)