专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型-2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 模型2：铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023下·绵阳市·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023下·辽宁鞍山·七年级统考期末）如图，已知，下列结论正确的是（    ）    A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360° 例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．    例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：①  ②  ③  ④ 其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 例7．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列各图中的与平行．    图中的， 图中的， 图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 例8．（2023下·河南安阳·七年级统考期末）【学习新知】 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则． (1)【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题： ①当，（即时，求的度数； ②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由． （提示：三角形的内角和等于 (2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 ________； 例9．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）我们知道，两条平行线被第三条直线所截，可以得到一些相等的角或者互补的角，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到将直线的位置关系转化为角的数量关系的作用．    问题初探：（1）如图1，，用等式表示之间的数量关系． 分析：过点作，则有，因为，所以，所以， 从而可以得到之间的数量关系． 请你直接写出之间的数量关系______． 类比再探：（2）如图2，，用等式表示之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用：（3）利用上面（1）、（2）得出的结论完成下题： 已知，如图3，，与两个角的角平分线相交于点． ①若，求的度数． ②若的度数用表示，的度数用表示，则与的之间的关系式为______． 课后专项训练 1．（2023下·山西·七年级统考阶段练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面