专题02 直角三角形中的分类讨论模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题02.直角三角形中的分类讨论模型 模型1、直角三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。 1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。 2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成 方法：两线一圆 具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。 ③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。 例1．（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 ． 例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 例3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中 ，点P在x轴上运动，当点P与点A，B，C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 例5．（2022秋·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，在中，，，点是线段延长线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 ． 例6.（2022秋·成都市八年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ． 例7.（2022秋·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D在边AB上，以CD为折痕将△CBD折叠得到△CPD，CP与边AB交于点E，若△DEP为直角三角形，则BD的长是 例8．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形．    例9．（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，等边三角形中，D、E分别是、边上的点，，与相交于点P，，Q是射线上的动点．    (1)图中共有__________组全等，请选择其中的一组全等予以证明．(2)若为直角三角形，求的值． 例10．（2023·四川成都·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B的坐标为（0，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x轴上的两个点，点P是直线AB上一点．当△PMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标． 例11．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10． (1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标； (3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标． 课后专项训练 1．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，当运动时间为（    ）秒时，是直角三角形． A．5 B．5或 C．5或 D．或 2．（2023秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，已知，P是射线上一动点（即Р点可在射线上运动），，则 时，为直角三角形．    3．（2023·江西南昌·中考模拟）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的