24.1.3弧、弦、圆心角 （课件） 2023—2024学年人教版数学九年级上册

九年级上 人教版 24.1.3 弧、弦、圆心角 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 1.理解圆的中心对称性和旋转不变性，从而理解圆心角的概念. 2.探索圆心角、弧、弦之间的关系定理. 3.会运用圆心角、弧、弦之间关系解决相关的证明和计算问题. 学习目标 重点 难点 新课引入 圆的性质有哪些？ ①圆是轴对称图形，并且有无数条对称轴 什么是垂径定理及它的推论？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【知二推三】 圆还有其他性质吗？ 比如中心对称性，这就是我们本节课所要学习的内容 思考1 圆是中心对称图形吗？如果是，你能指出它的对称中心吗？ 探究 OA=OB A、B两点关于点O对称 圆是中心对称图形 它的对称中心是圆心 新知学习 . O A B 180° 思考2 把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？ 探究 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合 圆具有旋转不变性 O α · · 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A ∠AOB为圆心角，圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为 . 注意：一条弧所对的圆心角只有一个 . 例1.下面四个图形中的角，是圆心角的是(　　) D 圆心角的条件： 1. 顶点在圆心上； 2. 两条边和圆相交. 其中“顶点在圆心上”是圆心角的必备条件. 思考1：如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB= ∠COD时，他们所对的 弧 与 ，弦AB与CD有怎样的数量关系？ O A B C D 思考 我们把∠AOB连同 绕圆心O旋转，使射线OA与OC重合 ∵∠AOB=∠COD, ∴射线OB与OD重合. 又∵OA=OC，OB=OD， ∴点A与点C重合，点B与点D重合. 因此 与 重合，AB与CD重合. 即 = ，AB=CD. 思考2： 如图，⊙O和⊙O′是半径相等的圆，当∠AOB＝∠CO′D时，你发现的等量关系是否依然成立？ O A B · O ′ C D 我们发现：在等圆中，如果圆心角∠AOB=∠CO′D，那么 = ， 弦AB=弦CD. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 猜想1：相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 探究 在同圆或等圆中： ①圆心角相等 ②弧相等 ③弦相等 我们已知：① 可推出 ②③ 猜想1：② ？ ①③ 猜想2：③ ？ ①② 猜想2：相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧也相等. 根据圆的旋转不变性可得猜想1和猜想2都是成立的 归纳 弧、弦、圆心角之间的关系 知一推二 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图，如果丢掉了“同圆或等圆”这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. A B O D C 例1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．(1) 如果AB=CD，那么 ， ． (2)如果 ，那么 ， ． (3) 如果∠AOB=∠COD，那么 ， ． AB=CD AB=CD ∠AOB=∠COD ∠AOB=∠COD (4) 如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ （4）解：OE=OF.理由如下： ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∵AB=CD， ∴AE=CF. ∵OA=OC， ∴Rt△AOE=Rt△COF. ∴OE=OF. A B C O 例2 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°. 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ∴ AB=AC， 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 证明： ∵ = ， ∴△ABC是等腰三角形． 1. 在⊙O中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则 与 的关系是（ ） A. =2 B.