6.3 二项式定理（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.1 二项式定理 1 Q1:下面各式如何展开?展开且合并同类项后的各项及系数/次数是什么? (a+b)2 (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 = a2+2ab+b2 (a+b)4 =(a+b)(a+b) =(a+b)(a+b)(a+b) =(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) 展开方式：从每个(a+b)中选一个数a或b，相乘后得到一项 =a4+__a3b+__a2b2+__ab3+b4 4 6 4 选0个b 选1个b 选2个b 选0个b 选1个b 选2个b 选3个b Q2:你能否根据上述规律，写出(a+b)n的展开式中的各项及其系数？ (a+b)n =(a+b)(a+b)···(a+b)(a+b) =___an +__an-1b +__an-2b2 +__an-3b3 +··· +___abn-1 +__bn n个 展开方式：依次从每个(a+b)中选一个数a或b，相乘后得到一项 二项式定理： 即(a+b)n的展开式 (1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____. (2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项. (3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________ a降幂(n→0),b升幂(0→n) 二项式定理： 即(a+b)n的展开式 (1)展开式共n+1项，各项次数为n. (2)各项规律：a降幂(n→0)；b升幂(0→n) (3)展开式的通项or第k+1项： (4)各项的二项式系数：(k=0,1,2,…,n) 二项式定理： 即(a+b)n的展开式 (4)各项的二项式系数：(k=0,1,2,…,n) (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)4=a4+4a3b+10a2b2+4ab3+b4 基础巩固：求二项式的展开式 先写通项,再将0,1,2,…n代入k 基础巩固：求二项式的展开式 先写通项,再将0,1,2,…n代入k 括号内先化简,再展开 基础巩固：二项式定理 a降幂(n→0),b升幂(0→n) a=1,b=3 a=2,b=-1 a=x-1,b=1 3n 1 x5－1 新知：二项式系数的性质 只与n有关,与a,b无关. 基础巩固：二项式系数的性质 3.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( ) A.20 B.219 C.220 D.220－1 D 例题点拨：求二项式的指定项或其系数 例题点拨：求二项式的指定项或其系数 ﹣56 56 例题点拨：求二项式的指定项或其系数 有理项：所有的字母的指数恰好都是整数的项 例题点拨：求二项式的指定项或其系数 综合运用：求二项式的指定项或其系数 推广运用：求多项式的指定项或其系数 推广运用：求多项式的指定项或其系数 推广运用：求多项式的指定项或其系数 选2个y 选1个x2 选2个x 推广运用：求多项式的指定项或其系数 240 240 6.3.2二项式系数的性质 (二项式)系数和与系数的最值 二项式系数的性质 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)4=a4+4a3b+10a2b2+4ab3+b4 n (a+b)n展开式的二项式系数 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 观察与发现：杨辉三角(二项式系数表) ①每行的两端都是1. ②递推性：除1以外的每一个数都等于它肩上两数的和. ③对称性：与首末两端等距的两个二项式系数相等. ④增减性：先增后减，在中间项取得最大值. 二项式系数的增减性与最值 二项式系数先增后减，关于k=对称. 二项式系数在中间项取得最大值. 第8项为中间项 共15项 14 8 4和5 11 6 例题点拨(2)：各项系数的问题 例题点拨(2)：各项系数的问题 赋值法：可解决系数和问题 X Y 例题点拨(2)：各项系数的问题 (法1：系数单调性→系数最大值) 最值取决于单调性，即研究系数的单调性，若递增，则任意K满足ak>ak-1；若递减，则ak<ak-1；显然ak一开始是递增的， 例题点拨(2)：各项系数的问题 (法2：系数极大值→系数最大值) 例题点拨(2)：各项系数的问题 系数最大：正系数中的最大 系数最小：负系数中的最小 系数绝对值最大 共性 小结：系数的求和与最值问题 1.二项式系数和： 2.奇/偶数项的