精品解析：陕西省渭南市临渭区渭南市三贤中学2024届高三上学期12月月考数学（理）试题

三贤中学2023-2024学年度高三第四次教学质量检测 高三（理科）数学试题 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上． 3．将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，已知，则数列的公差为（　　） A. 2 B. 4 C. 1 D. 5. 如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在椭圆上，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等边的边长为3，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 2021年12月，面对严峻复杂的疫情防控形势，西安市的大学生迅速聚起磅礴的青春之力，投身于疫情防控各个岗位，提供秩序维护、信息填报、问询指引、物资转运等志愿服务．按照学校防疫办公室的安排，现从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加志愿者服务，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A. 40种 B. 60种 C. 100种 D. 120种 9. 已知的展开式中常数项系数为4，则（ ） A. B. 1 C. D. 10. 已知曲线方程为，下列说法错误的是（ ） A. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件 B. 当时，曲线是半径为2的圆 C. 存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线 D. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 11. 已知函数若函数有四个不同零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，则＝_____ 14. 函数的图象在处的切线方程是______. 15. 若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是________． 16. 在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是________. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 在锐角中，角的对边分别为边上的高为的面积为. （1）求和角； （2）求的周长. 18. 如图，平面，四边形直角梯形，，，. （1）证明：. （2）若，点E在线段上，且，求二面角的余弦值. 19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似样本平均数，求； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 20. 已知函数． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求证：． 21. 定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线上一点，且与曲线在点处的切线垂直的直线称为曲线在点处的法线．设点为抛物线上一点． （1）求抛物线在点处的切线的方程（结果不含）； （2）求抛物线在点处的法线被抛物线截得的弦长的最小值，并求此时点的坐标． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，直线过定点且倾斜角为．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的直角坐标方程； （2）已知直线交曲线于，两点，且，求直线的倾斜角的大小． [选修4-5：不等式选讲] 23