数学探究阿波罗尼斯圆及其应用教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

数学探究 阿波罗尼斯圆及其应用（教学设计） 1、 教学目标 1. 理解并掌握阿波罗尼斯圆的定义，并能推导出阿波罗尼斯圆的方程,确定其圆心和半径，在此过程中发展学生直观想象、数学抽象和数学逻辑推理的学科素养. 2.通过对阿波罗尼斯圆方程的推导，进一步发展学生利用坐标法解决问题的能力，加深对数形结合思想的理解. 3.通过对阿波罗尼斯圆几何模型的简单应用,发展学生数学建模和数学运算的学科素养. 2、 教学重点、难点 1.教学重点：阿波罗尼斯圆的定义及其方程的推导过程； 2.教学难点：阿波罗尼斯圆方程的推导，及其圆心和半径的确定. 3、 教学过程设计 环节一 复习回顾 1. 圆的定义： 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 2. 圆的基本要素是圆心和半径. 3. 圆的标准方程：圆心为 A(a,b) ，半径为 r 的圆的标准方程是 环节二 观察分析，探究新知 问题1：已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA/PB=k 且不等于1的点 P 的轨迹是什么？ （动图演示） 【设计意图】通过让学生思考，观察动点P的轨迹的形成过程，由此得出动点P的轨迹是一个圆的结论，并由此引出课题“阿波罗尼斯圆”．让学生自主归纳阿波罗尼斯圆的定义. 在此过程中培养学生直观想象及数学抽象的核心素养. 阿波罗尼斯圆定义： 阿波罗尼斯圆又称阿氏圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA/PB=k 且不等于1的点 P 的轨迹是是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。 基本要素:两个定点、一个动点、一个定值 问题2：如何确定阿氏圆的轨迹方程？ [解析] 如图，A,B为两定点，动点P满足, 设 P(x,y)，|AB|=2m(m>0) ，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(−m,0)，B(m,0)． 由|PA|=λ|PB|， 两边平方并化简整理得， 当 λ=1时，x=0，点P的轨迹为线段AB的垂直平分线； 当 λ>1时，，点 P的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆. 【设计意图】问题2是基于逻辑推理的抽象，通过类比圆的标准方程的推导过程，利用坐标法推导阿波罗尼斯圆的方程，并确定其圆心和半径，从而培养学生由理性具体上升为理性一般的思维过程，同时也是学生完成直观想象的过程． 环节三 辨析理解 深化概念 例1 若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为(　D　) A.π B.2π C.3π D.4π 方法小结环节四 概念应用，巩固内化 <m></m> [解析] （法一：利用余弦定理和函数的最值问题处理） 设 ，所以 ，则 ， 所以 ， 故当 时， 取得最大值，最大值为 ． 练习 在 中，若 ， ，则 的最大值为_______. （法二：利用阿波罗尼斯圆求解） 显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， 因为 ，得点的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，计算得点的轨迹方程为 ， 设圆心为 ，显然当轴时，的面积最大，此时 ， 所以. 环节五 课堂小结 1. 阿波罗尼斯圆的定义. 2. 阿波罗尼斯圆的方程的推导，如何利用两定点间的距离和比值来确定圆心和半径. 3. 利用阿波罗尼斯圆的几何特征解决相关问题. 【师生活动】教师引导学生积极思考，学生画出思维导图. 【设计意图】让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法。 环节六 目标检测，作业布置 完成巩固训练及课后测试题. 学科网（北京）股份有限公司 [解析]　根据题意，动点M的轨迹是一个圆，以AB所在直线为x轴，过AB中点作垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B( ，0). 则 ，则M点的轨迹围成区域的面积为4π. 本题设置原型即来源于“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A，B的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以 Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)a，0))为圆心，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f( 2aλ,λ2－1)))为半径的圆(阿波罗尼斯圆).借助定义，可求出半径，进而确定面积。 $$