4.2指数函数的最值同步练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2指数函数的最值 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．若集合，，则（    ）． A． B． C． D． 2．若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（    ） A． B． C． D．或 3．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（    ） A． B．25730 C． D． 二、填空题 4．若函数在上的最大值为，最小值为，则 . 5．函数，的最小值为 . 6．不等式对任意都成立，则实数的取值范围 ． 7．若指数函数且在上的最大值为，则 . 8．函数在上的最小值为 . 9．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征.其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度为，满足公式.现有一壶水温为的热水用来沏茶，由经验可知茶温为时口感最佳，若空气的温度为，那从沏茶开始，大约需要 分钟饮用口感最佳. （参考数据；，,结果精确到位） 10．指数函数的图象与的图象关于 轴对称. 三、双空题 11．函数在上的最大值为 ，最小值为 . 12．函数的图象与函数的图象关于 对称，它们的交点坐标是 . 四、解答题 13．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式. 14．20世纪60年代，地质考古学家在阿拉斯加的一个洞穴中发现了古人类穿过的草鞋，实验测得那只草鞋的含量大约是现生长同种草的含量的25%，已知的半衰期为5730年，试估计草鞋的编织年代． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据二次根式的意义求出集合A，根据指数函数的性质求出集合B，结合集合间的关系即可求解. 【详解】因为， ， 所以． 故选：C. 2．D 【分析】分与两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a的值. 【详解】当时，函数在上为减函数， 则，解得：， 当时，函数在上为增函数， 则，解得：． 综上，或． 故选：D 3．C 【分析】令碳14的年衰变率为m，原有量为1，根据定义知，利用指数运算性质求衰变率即可. 【详解】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则，故， 所以碳14的年衰变率为. 故选：C 4． 【分析】利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为在上单调递减， 所以，， 则. 故答案为：. 5． 【分析】根据函数的解析式和定义域，求得值域即可. 【详解】因为函数，， 故， 所以的最小值为 故答案为： 6．． 【分析】分离参数，换元法求最值，可得实数的取值范围. 【详解】原不等式可化为对恒成立， 令，则，所以， 当时，，所以. 故答案为: . 7．或 【分析】根据指数函数的单调性，分类讨论即可求出的值. 【详解】若，则在上为增函数，所以，即. 若，则在上为减函数，所以，即. 综上或. 故答案为：或. 8．/ 【分析】分析函数在上的单调性，即可求得该函数在上的最小值. 【详解】函数在上单调递增，所以，. 故答案为：. 9． 【分析】根据题意代入数据即可求得答案. 【详解】由题意得， 代入数据得， 整理得，即， 解得， 所以若空气的温度为，从沏茶开始，大约需要分钟饮用口感最佳. 故答案为： 10． 【分析】利用指数函数的性质即可求解. 【详解】因为， 所以指数函数的图象与的图象关于轴对称. 故答案为：. 11． 【分析】结合函数的单调性求得正确答案. 【详解】函数在上递减， 所以当时取得最大值； 当时取得最小值. 故答案为：； 12． 轴 【分析】根据题意画出函数图象，结合图象得出结果. 【详解】解：函数的图象与函数的图象如下： 由指数函数的性质可知，函数的图象与函数的图象关于轴对称，它们的交点坐标是. 故答案为：轴；. 【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题. 13．（，） 【分析】根据指数的运算性质即可求解. 【详解】设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y. 经过1年，剩留量； 经过2年，剩留量； …… 一般地，经过x年，剩留量（，）. 14．距发现有11460年的历史. 【分析】由题意分析，经过两个半衰期时间，即可求得. 【详解】由碳14剩下含量为原来的2