4.2.2指数函数的图象和性质（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

4.2.2指数函数的图象和性质 年级 高一 学科 数学 课型 新授课 教材 人教A版必修第一册 教学目标 1.掌握指数函数的图象画法，理解指数函数单调性、过定点等性质，能利用图象与性质比较大小、求解简单不等式。 2.通过描点作图、分类讨论底数，经历观察图象、归纳性质的过程，提升数形结合、分类讨论的数学思维。 3.感受图象与代数性质的内在联系，体会指数函数在现实增长模型中的价值，养成严谨观察、归纳推理的习惯。 教学重点 指数函数的图象与性质，利用单调性比较大小、解简单不等式。 教学难点 由具体函数图象归纳一般指数函数性质；底数 的分类讨论； 比较不同底不同指幂的大小时合理选择中间值；解含参数指数不等式时正确分类讨论。 教材分析 本节课为人教A版高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》第二节《指数函数》第二课时。主要内容包括：用描点法在同一坐标系中画出 、、、的图象；归纳指数函数 的定义域、值域、单调性、过定点等图象与性质；理解底数互为倒数的图象关于 轴对称及底数大小对图象位置的影响；运用性质比较大小、解简单不等式，并结合人口指数增长实例体会倍增期。 本节课是在指数函数概念和实数指数幂运算之后，由具体图象抽象一般性质的重要课时。教材以“研究函数的一般方法”为主线，先描点作图，再分类讨论 与 ，归纳定义域、值域、单调性、定点等性质，并借助图象理解底数互为倒数的对称关系及“底大图高”等特征。其价值在于完善函数研究路径，发展数形结合、分类讨论和归纳推理素养，为后续对数函数、函数模型及不等式求解奠基。教学重点是掌握指数函数图象与性质，并能用于比较大小、解简单不等式；教学关键是由具体图象抽象一般性质。 学情分析 学生已学习函数概念、定义域、值域、单调性、奇偶性和描点作图，掌握实数指数幂运算，具有由解析式研究函数图象的基本经验，并具备一元一次不等式、简单二次不等式的求解基础。对 、 等具体图象和过定点等直观性质较易理解，但从特殊到一般归纳 的性质，需要经历观察、比较、分类、抽象过程。比较大小和解不等式时，化同底、找中间值、讨论底数等策略灵活，是学习难点；人口指数增长中的“倍增期”与实际模型的对应也需引导。因此，教学难点确定为：底数分类讨论下归纳指数函数性质，并运用性质比较大小、解简单不等式。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情景，引入新课】 情境：某城市人口呈指数增长，人口图象增长越来越快。 问题：这种变化用哪个函数模型刻画？我们已经学习指数函数概念， 本节研究其图象和性质。 问题1：你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？ 【师生活动】 教师提问，学生回答。 由解析式先求函数的定义域，画出函数图象，研究函数的单调性、值域、奇偶性等。 用现实增长模型激发兴趣，明确研究路径，为描点作图与性质归纳作准备。 探究点1 指数函数的图象 问题2：请同学们在同一平面直角坐标系中画出 和 、 和 的图象。 【师生活动】 教师引导“怎样画函数图像？” 学生回答描点法：列表→描点→连线。学生分组列表、描点、连线。 【详细过程】 （1）列表：按教材表格完成，可取 。 （2）描点：在同一坐标系中描出对应点。 （3）连线：用平滑曲线连接，得到四个指数函数图象。 观察： 与 图象关于 轴对称； 与 也关于 轴对称。 通过描点作图，直观感知指数函数图象形状，为归纳性质提供素材，突破“图象画法”难点。 探究点2 指数函数的性质 问题3：能否根据这四个特殊的指数函数图象，概括出指数函数 图象性质？ 【师生活动】 教师引导学生观察图象公共点、变化趋势，并分类讨论 与 。 学生填写表格并交流。 【详细过程】 追问1：观察这两个图象整体，说说之间的关联。 底数互为倒数的两个指数函数图象关于 轴对称。 问题4：你能不通过列表描点连线大致画出 的图象吗？ 追问1：在 轴右侧，对于同一 ，图象的高低与底数有什么关系吗？ 时，底大图高 追问2：在 轴左侧呢？ 时，反之 追问3：在 轴右侧，对于同一 ，图象与 轴距离和底数有什么关系吗？ 底数越大，离 轴越近 选取底数 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象：当 时图象上升，当 时图象下降，均过 ，以 轴为渐近线。 通过分类讨论、数形结合，由特殊到一般归纳指数函数性质，突破底数分类和过定点理解难点。 探究点3 指数函数图象与性质的应用 例3：比较下列各题中两个值的大小： （1 ），； （2），； （3），。 【分析】同底不同指的两个值比较大小可以利用指数函数的单调性判断。 解：（1）∵ 在定义域上单调递增，而 ， ∴。 （2）∵ 在定义域上单调递减，而 ， ∴。 （3）∵ 在定义域上单调递增，而 ， ∴； 又∵ 在定义域上单调递减，而 ， ∴。 综上，。 总结：同底用单调性；不同底常找中间量 比较。 例4：如图，某城市人口呈指数增长。 （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 解：（1）观察图象，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年。 （2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番。因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人。 【师生活动】 教师示范例3，强调“同底用单调性、不同底找中间量”； 学生独立完成例4，教师引导从图象读倍增期并建模。 通过比较大小和人口增长实例，巩固图象与性质，体会指数函数在现实增长模型中的价值，提升应用与建模能力。 课堂小结 板书设计 4.2.2指数函数的图象和性质 一、研究路径 定义域 → 图象 → 性质 → 应用 二、图象画法 描点法：列表 → 描点 → 连线 例： 三、指数函数 的图象与性质 四、图象规律 与 图象关于 轴对称。 时，底大图高； 时，底大图低。 底数越大，图象离 轴越近。 五、题型方法 图象判断：比较底数与 的大小。 定点问题：令指数部分为 。 比较大小：同底用单调性；不同底找中间量 。 解不等式：化同底 → 去底 → 解不等式；底数不定分类讨论。 定义域、值域：先看内层范围，再结合指数函数值域。 六、数学思想 数形结合、分类讨论、由特殊到一般。 随堂练习 【题型1 指数函数的图象问题】 1.已知 ，，，，则在同一个平面直角坐标系内，它们的图象为（ A ）。 2.已知 ，，则函数 的图象必定不经过（ A ）。 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.如图所示是指数函数① ，② ，③ ，④ 的图象，则 与 的大小关系是（ B ）。 A. B. C. D. 4.函数 的图象大致为（ D ）。 【题型2 图象过定点问题】 1.（，且 ）的图象恒过定点___________。 【答案】： 2.（，且 ）的图象恒过定点___________。 【答案】： 3.（，且 ，）的图象恒过定点 ，则 的最小值为_____________。 【答案】： 【题型3 幂指数比较大小】 1.比较下列各题中两个值的大小： (1) ，； (2) ，； (3) ，。 解：(1) 。 (2) 。 (3) 。 2.已知 ，，，则 的大小关系是（ D ）。 A. B. C. D. 技巧点拨： 比较指数幂大小的三种类型及处理方法： 同底不同指：利用指数函数单调性比较； 同指不同底：利用幂函数单调性或图象比较； 底、指均不同：借助中间量 或 比较。 【题型4 解不等式】 1.求满足下列条件的 的取值范围： (1) ； (2) ； (3) （，且 ）。 解：(1) 的取值范围是 。 (2) 的取值范围是 。 (3) 当 时，；当 时，。 2.（1）解不等式 ； (2) 已知 （，且 ），求 的取值范围。 解：（1） 的取值范围是 。 （2）当 时， 的取值范围是 ； 当 时， 的取值范围是 。 3.不等式 的解集为_________。 【答案】： 技巧点拨： 利用单调性解不等式的步骤： ①化同底：将不等式两边都化成底数相同的指数式。 ②去底：根据底数的取值，利用指数函数的单调性去掉底数。 ③解不等式：求解由指数构成的不等式的解集。 提醒：若底数不确定，则需进行分类讨论。 【题型5 指数型函数的定义域和值域】 1.求下列函数的定义域和值域： （1）； （2）； （3）。 解：（1）定义域：，值域：。 （2）定义域：，值域：。 （3）定义域：，值域：。 2.求下列函数的定义域和值域： （1）； （2）； （3）。 解：（1）定义域：，值域：。 （2）定义域：，值域：。 （3）定义域：，值域：。 教学反思 本节课以“图象—性质—应用”为主线。概念理解与性质归纳目标基本达成：学生能通过描点法画出 等图象，并概括出定义域、值域、定点、单调性；例3比较大小和即时训练解不等式完成度较好。难点主要在于底数 的分类讨论，尤其是 时不等号方向易错；复合型指数函数的定义域、值域及含参不等式仍需加强。实际增长模型学生能读懂图象，但抽象为指数模型并迁移稍弱。后续改进：增加动态软件演示底数变化对图象的影响；安排小组合作完成含参不等式分类讨论；对定义域值域增加“换元—内层范围—外层值域”的步骤训练；课堂留出更多即时反馈与纠错时间。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $