24.2.2第2课时 切线的判定和性质 （课件） 2023—2024学年人教版数学九年级上册

24.2.3 切线的判定和性质 九年级上 人教版 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 1. 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 3. 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 学习目标 重点 难点 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都和圆是什么位置关系？ 都与圆相切. 新课引入 根据直线与圆的位置关系，判定切线的方法有哪些？ ①与圆只有一个交点； ②圆心到直线的距离等于半径 还有没有什么其它的方法？ 一、切线的判定定理 如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关系？ l O A ∵OA为⊙O的半径，且OA⊥l ∴圆心 O 到直线 l 的距离d=r, ∴直线l为⊙O的切线. 新知学习 思考 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. A B C O 归纳 数学语言 ∵OA为⊙O的半径，直线 BC⊥OA于点A， ∴直线BC与⊙O相切，切点为A. 切线的判定方法： A B C O 归纳 (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线 (2)数量关系法：到圆心的距离等于半径的直线是圆 的切线 (3)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线 例1. 下列命题中，真命题是(　　) A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 经过半径外端的直线是圆的切线 C. 经过切点的直线是圆的切线 D. 圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线 D 例2. 如图，直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，且 OA = OB，CA = CB． 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线． 分析：已知AB 过 ⊙O 上的点 C，连接 OC，只要证 明 AB⊥OC 即可. O B C A 证明：如图，连接 OC . ∵ OA = OB，CA = CB， ∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线，　 ∴ OC⊥AB. ∵OC 是 ⊙O 的半径，∴ AB 是 ⊙O 的切线. 判定切线的常见辅助线作法： 1.已知交点时，连半径，证垂直； 2.交点不确定时，作垂直，证半径 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． B C D A E 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB = r. ∴ AC 是⊙O 的切线. 二、切线的性质定理 思考 ①OA 为 ⊙O 的半径 ②BC⊥OA 于点 A ③BC 为 ⊙O 的切线 判定定理： ①+③→② ？ 用上面的形式呈现这个 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. C D B O A M 证法：反证法 性质定理的证明 证明：假设 AB 与 CD 不垂直， 过点 O 作一条直径垂直于 CD，垂足为 M； 根据垂线段最短， 得 OM<OA， 即圆心到直线 CD 的距离< ⊙O 的半径， 因此，CD 与 ⊙O 相交. 这与已知条件“直线与 ⊙O 相切”相矛盾； 所以假设不成立，即 AB 与 CD 垂直. A l O 切线性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径． 归纳 OA 为 ⊙O 的半径 直线 l 与 ⊙O 相切于A 直线 l ⊥OA 应用条件 例4 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与 ⊙O相切于点 D. 求证：AC 是 ⊙O 的切线. B O C D A 点 O 向 AC 所作的垂线段 OE OE = OD OE 是 ⊙O 的半径 AC 是 ⊙O 的切线 证明：如图，连接 OD，OA，过 O 作 OE⊥AC 于 E. ∵⊙O 与 AB 相切于 D， 又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点， ∴ AO 平分∠BAC. ∴ OD = OE. ∴ AC 是 ⊙O 的切线． E B O C D A ∴OD⊥ AB. 交点不确定时，要作垂直，证半径 切线性质题目做法： 主要是构造直角三角形，把问题转化为勾股定理，解直角三角形的问题. 例5. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O 的半径是多少？ O P B A 解：连接